Question

Ajutati-ma va rog :)
1. Determinati cel mai mic nr natural care are suma cifrelor 2013 .
2.aratati ca nr. C=1 +2 la 1 +2 la 2+...+2 la 71este divizibil cu 5.
3.Aratati ca ultima cifra a produsului x(x+1)poate fi doar 0,2sau6 pentru orice nr natural x

Answer 1

1)
Pentru ca numarul sa fie mai mic, la aceeasi suma a cifrelor, cifrele trebuie sa fie mai mari pentru a putea gasi un numar cu mai putine cifre.
Numarul cel mai mic care sa aiba suma cifrelor egala cu 2013 este numarul
format din 99999.......99999R  
unde numarul de nouri este egal cu citul impartirii:
2013 : 9 = 223  eest 6
Iar R = restul impartirii = 6

n = 999999.........9999996
     l---------223 de 9 -------l

2)

$C= 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + ................+ 2^{71}$

Observam ca suma primilor 4 termeni este:

$2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = divizibil-cu-5$

Ar trebui sa grupam termenii in grupe de cate 4.
Verificam daca numarul de termeni este divizibil cu patru.
Analizam exponentii:   {0; 1; 2; 3; .......; 71 } in total 71 + 1 = 72 = 4 * 18
=> Numarul de termeni este 72 si este divizibil cu 4.

$( 2^{0} +2^{1}+2^{2}+2^{3}) + (2^{4} +2^{5}+2^{6}+2^{7}) + ...+.(2^{68} +2^{69}+2^{70}+2^{71})$

Din fiecare grupa dam factor comun:

$1(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3})+ 2^{4}(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3})+...2^{68}(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3})$

Dam paranteza factor comun:

$(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3})(1 + 2^{4} + 2^{8}+ ....... +2^{68})$

$15(1 + 2^{4} + 2^{8}+....+ 2^{68}) = 3*5*(1 + 2^{4} + 2^{8}+....+ 2^{68})$

=> C este divizibil cu 5

3)
Uc(x) = 0  => Uc x(x+1) = 0 (0+1) = Uc 0 = 0
Uc(x) = 1  => Uc x(x+1) = 1(1+1) = Uc 2  = 2
Uc(x) = 2  => Uc x(x+1) = 2(2+1) = Uc 6 = 6
Uc(x) = 3  => Uc x(x+1) = 3(3+1) = Uc 12 = 2
Uc(x) = 4  => Uc x(x+1) = 4(4+1) = Uc 20 = 0
Uc(x) = 5  => Uc x(x+1) = 5(5+1) = Uc 30 = 0
Uc(x) = 6  => Uc x(x+1) = 6(6+1) = Uc 42 = 2
Uc(x) = 7  => Uc x(x+1) = 7(7+1) = Uc 56 = 6
Uc(x) = 8  => Uc x(x+1) = 8(8+1) = Uc 72 = 2
Uc(x) = 9  => Uc x(x+1) = 9(9+1) = Uc 90 = 0

cctd