Question

Ajutați-mă, vă rog!!!!
Fie E=x^2+(m+1)+m+2/x^2+x+m
Să se afle m€R astfel încât fracția E are sens pentru orice x€R și să fie pozitivă pentru orice x€R.

Answer 1

$E(x)=\dfrac{x^2+(m+1)x+m+2}{x^2+x+m}\\ \text{Fractia are sens atunci cand numitorul este diferit de 0.Avand in }\\ \text{vedere ca la numitor este o functie de gradul 2,conditia ca aceasta sa}\\ \text{fie diferita de 0 este ca delta sa fie strict negativ.Altfel spus:}\\ x^2+x+m\neq 0,\forall x\in \mathbb{R}\\ \Delta=1-4m <0\\ 4m>1 \\ m>\dfrac{1}{4}\Rightarrow m\in \left(\dfrac{1}{4},\infty\right)\\ \text{Pentru a-l afla pe x,este necesar sa facem un tabel de semn.Mai intai}$$\text{sa aflam solutiile celor doua ecuatii:}\\   x^2+(m+1)x+(m+2)=0\\</p>\Delta=(m+1)^2-4(m+2)=m^2+2m+1-4m-8=m^2-2m-7\\ x_1=\dfrac{-m-1+\sqrt{m^2-2m-7}}{2}\\ x_2=\dfrac{-m-1-\sqrt{m^2-2m-7}}{2}\\ \\  x^2+x+m=0\\ \Delta=1-4m\Rightarrow \sqrt{\Delta}=\sqrt{1-4m}\\ x_3=\dfrac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}\\ x_4=\dfrac{-1-\sqrt{1-4m}}{2} \\ <p>\text{Mai departe faci tabelul de semn si scrii solutia in functie de} \\ \text{parametrul m.}$