Question

Ajutati ma va rog la ecuatiile astea​

Answer 1

Răspuns:

1) Notam $y=3^x$ si observam ca y>0.

Ecuatia $9^x-4\cdot 3^x +3 =0$ devine $y^2-4y+3=0$

$\Delta=16-12=4>0$ si $y_1=\frac{4-2}{2}=1,\; y_2=\frac{4+2}{2}=3$.

Ambele solutii sunt >0.

I. Daca $3^x=y_1=1$ atunci $x_1=0$.

II.Daca $3^x=y_2=3$ atunci $x_2=1$.

2) Inmultesti inecuatia cu $(2+3^x)$ care e >0 si se obtine inecuatia echivalenta $3^x(2+3^x)-15 = 9^x +2\cdot 3^x - 15>0.$

Notam $y=3^x$ si observam ca y>0. Inlocuind, obtinem:

$y^2 + 2y - 15 >0.$

Acum $\Delta=64$ si $y_1=\frac{-2-8}{2}=-5,\;y_2=\frac{-2+8}{2}=3$.

Prin urmare $y^2 + 2y - 15 >0.$ daca si numai daca $y\in (-\infty,-5)\cup (3,\infty)$. Pe de alta parte, $y=3^x>0$, deci avem $y\in (3,\infty)$ adica y>3.

$y=3^x>3=3^1$ daca si numai daca x>1. Deci solutia inecuatiei este $x\in (1,\infty)$

Se poate rezolva insa, mai simplu, cu functii:

Fie $f:\mathbb R \to \mathbb R, f(x)=3^x-\frac{15}{2+3^x}$.

Observam ca f este strict crescatoare, pentru ca f(x)=g(x)-h(x), unde

$g(x)=3^x$ este strict crescatoare si $h(x)=\frac{15}{2+3^x}$ este strict descrescatoare (pentru ca $3^x+2$ e crescatoare).

Pe de alta parte, f(1)=0. Cum f e strict crescatoare, rezulta ca f(x)>0 daca si numai daca x>1.

3) E o durere de cap sa scrii conditiile de existenta. Eu insa le-as ignora si as rezolva ecuatia.. obtin niste solutii si vad daca au sens. Adica:

$\log_5 \frac{4x^2-1}{3-x} + \log_5 \frac{3-x}{9+3x} = \log_5 \frac{(4x^2-1)(3-x)}{(3-x)(9+3x)} = \log_5 \frac{4x^2-1}{9+3x} = 0 =\log_5 1,$

de unde $\frac{4x^2-1}{9+3x}=1$ deci $4x^2-1=9+3x$ deci $4x^2-3x-10=0$. $\Delta=9+160=169=13^2$. Rezulta ca$x_1=-5/4$ si $x_2=2$. Si cei doi logaritmi de la inceput au sens cand inlocuiesti x cu $x_1$ si cu $x_2$. Deci ambele solutii verifica conditiile de existenta.