Question

Ajutati-ma va rog pas cu pas la acest exercitiu.

Answer 1

Salut,

Rezolvarea începe obligatoriu cu condițiile de existență, sau DVA (Domeniul Valorilor Admisibile):

1). Funcția de sub radicalul de ordin par trebuie să fie mai mare, sau egală cu 0, deci 6 -- x -- x² ≥ 0 (1)

Rezolvăm ecuația:

6 -- x -- x² = 0 (2) ⇔ x² + x -- 6 = 0 ⇔ x² -- 4 + x -- 2 = 0 ⇔ (x -- 2)(x + 2) + x -- 2 = 0, sau (x -- 2)(x + 2 + 1) = 0, deci (x -- 2)(x + 3) = 0.

De aici avem că x₁ = --3 și x₂ = 2.

Funcția de gradul al II-lea f(x) = 6 -- x -- x² are coeficientul lui x² egal cu --1 < 0, deci semnul contrar coeficientului (adică semnul pozitiv, vezi inecuația (1)) este între rădăcinile ecuației (2), deci x ∈ [--3, 2] (3).

2). A doua condiție este ca x² -- 1 ≠ 0, deci x₁ ≠ --1 și x₂ ≠ +1 (4).

Din (3) și (4) avem că DVA este x ∈ [--3, --1) U (--1, 1) U (1, 2] (5).

Funcția radical de ordinul par de la numărător ia numai valori pozitive, deci:

$\sqrt{6-x-x^2}\geqslant 0.$

Ne interesează în mod special situația în care:

$\sqrt{6-x-x^2}=0\Rightarrow x_1=-3,\ x_2=2\ (6),\\aceste\ valori\ fac\ parte\ din\ solu\c{t}ia\ final\breve{a}.$

Deci pentru ca fracția să ia valori negative (vezi inecuația din enunț) condiția de pus este ca x² -- 1 < 0 (am ales strict mai mic decât 0, fără egal, pentru că x² -- 1 este numitorul unei fracții, care evident NU poate lua valoarea 0).

Avem deci de rezolvat inecuația: x² -- 1 < 0 (7).

Rezolvăm ecuația x² -- 1 = 0 (8), avem simplu că x₁ = -- 1 și x₂ = 1.

Funcția de gradul al II-lea g(x) = x² -- 1 are coeficientul lui x² egal cu +1 > 0, deci semnul contrar coeficientului (adică semnul negativ, vezi inecuația (7)) este între rădăcinile ecuației (8), deci x ∈ (--1, 1) (9).

Soluția finală se află din intersecția mulțimilor (6) și (9), la care se adaugă soluțiile (6), adică:

x ∈ (--1, 1) U {--3, 2}, adică reuniunea formată din intervalul (--1, 1) și mulțimea formată din 2 elemente, --3 și 2.

Observații: Nu este nevoie deloc să te complici cu ridicarea la pătrat, trebuie doar să folosești inteligent proprietățile funcției radical de ordinul par, care ia numai valori pozitive. Dacă te complici cu ridicarea la pătrat, la examene, la teste, la teze vei pierde enorm de mult timp cu calcule care sunt complet inutile. Pe de altă parte, știai că graficul funcției de la numărător (din enunț), este un semicerc, aflat peste axa orizontală OX ? :-).

Green eyes.