Question

Ajutati-ma va rog rapid!
Sa se stabileasca intervalele de monotonie pentru urmatoarele functii;
a) f:R->R, f(x)=|x-1|
b). g:R->R, g(x)=|x|-1

Answer 1

Definitia modulului:
|a| este:
a, daca a ≥ 0
-a, daca a < 0

a)
Pentru aceasta functie vor fi 2 ramuri:
-> x - 1,  cand x-1 ≥ 0
-> -x + 1, cand x-1 < 0

Daca rezolvam inecuatiile din conditii obtinem:

-> x - 1, cand x ∈ [1, ∞)
-> -x + 1, cand x ∈ (-∞, 1)

O functie f:D -> C este monotona daca pentru ORICE x₁ si x₂ ∈ D, si x₁ < x₂ ==> f(x₁) ≤ f(x₂) (in cazul in care este crescatoare) sau f(x₁) ≥ f(x₂) (descrescatoare) ,
astfel daca diferenta d = f(x₁) - f(x₂) este < 0, atunci f este crescatoare, altfel este descrescatoare.

Studiem monotonia pentru fiecare ramura:

Prima ramura: f₁:[1, ∞) -> R, f₁(x) = x - 1

x₁, x₂ ∈ [1, ∞), x₁ < x₂
D = f₁(x₁) - f₁(x₂) = x₁ - 1 - (x₂ - 1)  = x₁ - x₂ < 0 (Stim ca x₁ < x₂) ==> Functia f este strict crescatoare pe intervalul [1, ∞)

A doua ramura: f₂:(-∞, 1) -> R, f₂(x) = 1 - x

x₁, x₂ ∈ (-∞, 1), x₁ < x₂
D = (1 - x₁) - (1 - x₂) = x₂ - x₁ > 0 (conform conditiei stabilite: x₁ < x₂) ==> Functia f este strict descrescatoare pe intervalul (-∞, 1]

b)
Cele 2 ramuri sunt:

-> x - 1, cand x ∈ [0, ∞)
-> -x - 1, cand x ∈ (-∞, 0)

Prima ramura: g₁:[0, ∞) -> R, g₁(x) = x - 1
D = g₁(x₁) - g₁(x₂) = x₁ - x₂ < 0 ==> Functia g este strict crescatoare pe intervalul [0, ∞)

A doua ramura: g₂:(-∞, 0) -> R, g₂ = -x - 1
D = g₂(x₁) - g₂(x₂) = x₂ - x₁ > 0 ==> Functia g este strict descrescatoare pe intervalul (-∞, 0]