Question

Ajutati-ma va roooog frumos cu execetiu asta

Answer 1

Mai intai conditiile de existenta impun

1+2x>0 x> -1/2

Punctele de extrem se gasesc printre zerourile (solutiile) derivatei

f'=2x-(1+2x)'/(1+2x)=2x-2/(1+2x)=(2x+4x²-2)/(1+2x)

f'=0 implica 2x+4x²-2=0 2x²+x-1=0 x1=-1+3)/4=1/2 si x2=(-1-3)/4=-1

Functia fiind definita doar pe (-1/2, ∞), avem doar o singura solutie viabila x=1/2

evident ca la stanga lui1/ 2 f' este negativa (vezi functia de gradul d care intre radacini are semn opus coeficientului x²) si in afara lor pozitiva

Cu alte cuvinte la stanga lui 1/2 f este descrescatoare, iar la dreapta crescatoare. Cum exista alternanta de semn, avem in 1/2 un extrem, care este un minim, si in care functia are valoarea f(1/2)=1/4-ln(1+1)=1/4-ln2