Question

Ajutati-ma va roooog frumos, dau coroana, problema de geometrie sa fie cu desenul

Answer 1

ex.2

Mai intai conditiile de existenta impun

1+2x>0 x> -1/2

Punctele de extrem se gasesc printre zerourile (solutiile) derivatei

f'=2x-(1+2x)'/(1+2x)=2x-2/(1+2x)=(2x+4x²-2)/(1+2x)

f'=0 implica 2x+4x²-2=0 2x²+x-1=0 x1=-1+9)/4=2 si x2=(-1-9)/4=-5/2

Functia fiind definita doar pe (-1/2, ∞), avem doar o singura solutie viabila x=2

evident ca la stanga lui 2 f' este negativa (vezi functia de gradul d care intre radacini are semn opus coeficientului x²) si in afara lor pozitiva

Cu alte cuvinte la stanga lui 2 f este descrescatoare, iar la dreapta crescatoare. Cum exista alternanta de semn, avem in 2 un extrem, care este un minim, si in care functia are valoarea f(2)=4-ln(1+4)=4-ln5

1. notam cu b apotema unei fete laterale (inaltimea din varful piramidei) si cu h inaltimea piramidei

Al=4*A fata=4*a*b/2=2ab

V=a²*h/3

raportul lor este

a²*h/3/2ab=a√6/18⇔h/b=√6/3

dar din Pitagor in triunghiul format de inaltime , apotema si 1/2a

b²=a²/4+h²

b²=a²/4+6b²/9 3b²/9=a²/4 b²=3a²/4 b=a√3/2

h=b√6/3=a√3/2 * √6/3=a√2/2

acum Al=ah√6=a*a√2/2 *√6=a²*√3

V=a²*h/3=a²*a√2/6=a³√2/6

Facem si verificarea V/Al care da exact valoarea din enunt

3. conditiile de existenta impun

mx>0

x+1>0 x> -1

si x+1≠1 x≠0

ecuatia devine

(x+1)²=mx

x²+(2-m)x+1=0 care admite solutie pentru delta ≥0, adica

(2-m)²-4≥0 -m(4-m)≥0 m(4-m)≤0 m(m-4)≥0 m∈(-∞,0]∪[4, ∞)

Solutiile sunt x1=[(m-2)-√m(m-4)]/2 si x2=[(m-2)+√m(m-4)]/2

i) dar ptr m<0 (cazul m=0 nu se poate lua in calcul)

x1> -1 implica [(m-2)-√m(m-4)]/2>-1

(m-2)-√m(m-4>-2 m>√m(m-4 care nu se poate deoarece un numar negativ (m) nu poate fi mai mare decat unul pozitiv(√...)

x2>-1 implica [(m-2)+√m(m-4)]/2>-1 (m-2)+√m(m-4>-2 m+√m(m-4>0

√m(m-4)> -m ridicam la patrat , ambii termeni fiind pozitivi

m(m-4)>m² -4m>0 ceea ce este adevarat

Concluzie: pentru m∈(-∞,0) avem viabila doar pe x2, deci o singura solutie. Intervalul pentru m asigura conditiile din enunt

ii) acelasi lucru facem pentru x∈[4,∞)

x1> -1 implica [(m-2)-√m(m-4)]/2>-1

(m-2)-√m(m-4>-2 m>√m(m-4) , iar dupa ridicarea la patrat (fiind ambii membri pozitivi!)

m²>m²-4m 4m>0 ceea ce e adevarat tot timpul in conditiile analizate. Deci exista tot timpul x1

x2>-1 implica [(m-2)+√m(m-4)]/2>-1 (m-2)+√m(m-4>-2 m+√m(m-4>0 adevarata intotdeauna daca m>4. Deci avem si x2

Concluzie: pentru m>4 avem 2 solutii viabile ceea ce nu corespunde cerintelor problemei . Doar pentru m=4 avem solutia dubla x=1 deci practic o singura solutie!

Final: daca nu am gresit la calcule, pentru m∈(-inf., 0)∪{4} ecuatia are o singura solutie