Question

Ajutati maaaa repede
Este reprezentat un dreptunghi abcd , de centru o,cu AB=3×AD si Aabcd=12cm2. Prelungim segmentul BC cu BT=CB si fie G=TO INTERSECTAT AB .
a)demonstrati ca AT||OB
b) Determinati masura unghiului bgc

Answer 1

Desenam figura geometrica, respectand detaliile si indicatiile
a) AO=OC(jumatati de diagonala, sunt egale intr-un dreptunghi); BC=BT (teorie)
$\frac{CO}{CA}$=$\frac{CB}{CT}$=$\frac{1}{2}$ ⇒(conform reciprocei teoremei lui Thales) OB║AT

b) notam AB=3AD; $A_{ABCD}$ = AB x AD = 3AD x AD = 3$AD^{2}$ = 12 ⇒ AD = 2cm ⇒ AB = 6cm; aplicand teorema lui Pitagora in tr. ABC ⇒ AC = $\sqrt{ BC^{2} + AB^{2} }$ = 2$\sqrt{10}$ ⇒ OA = OB = $\frac{AC}{2}$ = $\sqrt{10}$cm
Folosind teorema asemanarii triunghiurilor, obtinem, in triunghiurile AGT si OGB, cu AT║OB, egalitatea de rapoarte $\frac{AT}{OB} = \frac{AG}{GB}$; notam AG = AB - GB = 6 - GB; Avem
$\frac{2 \sqrt{10} }{ \sqrt{10} } = \frac{6-GB}{GB} ⇒ GB= \frac{6-GB}{2}$ 3GB=6 ⇒ GB=2 cm
GB = BC = 2 cm ⇒ tr. GBC este isoscel
Unghiul B are masura de 90° ⇒ tr. GBC este tr. dreptunghic isoscel ⇒ ∡(BGC)=∡(BCG)=45°

Sper sa te ajute :D