Question

ajutațimă vă rog frumos dau coroana și 50 de puncte la răspuns corect​

Answer 1

Salut!

Simplificați:

$\frac{x^{2}-5x+6 }{x^{2} -4x+4}$

Acest tip de exercițiu nu poate fi calculat direct, deoarece în această formă nu se poate simplifica nimic.

Însă putem utiliza un artificiu, la ecuațiile de acest gen, precum cele de mai sus.

$ax^{2} +bx+c$

Artificul este să căutăm două numere care adunate să ne dea b, iar înmulțite să ne dea c.

Avem două ecuații de acest gen, deci va trebui să căutăm două seturi de numere.

• Pentru prima ecuație

$x^{2} -5x+6$

b=-5

c=6

Deci va trebui să căutăm două numere care adunate să dea -5, iar înmulțite 6.

$\left \{ {{a+b=-5} \atop {ab=6}} \right.= > \left \{ {{a=-5-b} \atop {(-5-b)*b=6}} \right. = > \left \{ {{a=-5-b} \atop {-5b-b^{2}=6 }} \right. = > \left \{ {{a=-5-b} \atop {b^{2}+5b+6=0 }} \right.$

Avem ecuație de gradul II, rezolvăm prin delta:

$b_{1} =\frac{-5+\sqrt{5^{2}-4*1*6 } }{2} \\= > b_{1} =\frac{-5+\sqrt{25-24} }{2} \\= > b_{1} =\frac{-5+1}{2} \\= > b_{1} =\frac{-4}{2} \\= > b_{1} =-2$

$b_{2} =\frac{-5-1}{2} \\= > b_{2} =\frac{-6}{2} \\= > b_{2} =-3$

Revenim în sistemul de ecuații și înlocuim cu ce am găsit:

Pentru b1

$\left \{ {{a=-5-b} \atop {ab=6}} \right= > \left \{ {{a=-5-(-2)} \atop {a*(-2)}=6} \right.= > \left \{ {{a=-5+2} \atop {a=\frac{6}{-2} }} \right. = > \left \{ {{a=-3} \atop {a=-3}} \right.$

Pentru b2

$\left \{ {{a=-5-b} \atop {ab=6}} \right. = > \left \{ {{a=-5-(-3)} \atop {a*(-3)=6}} \right. = > \left \{ {{a=-5+3} \atop {a=\frac{6}{-3} }} \right. = > \left \{ {{a=-2} \atop {a=-2}} \right.$

Observăm că pentru ambele rădăcini,  a și b doar își vor schimba locul, deci sunt egale.

Deci:

$x^{2} -5x+6=(x-3)(x-2)$

• Pentru a doua ecuație

$x^{2} -4x+4$

b=-4

c=4

$\left \{ {{a+b=-4} \atop {a*b=4}} \right.$

Aici nu este nevoie să facem prin delta, deoarece ne putem da seama foarte ușor de numerele respective, și anume -2 și -2.

Deci:

$x^{2} -4x+4=(x-2)(x-2)$

Acum putem simplifica fracția inițială:

$\frac{x^{2}-5x+6 }{x^{2} -4x+4} =\frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x-2)}=\frac{x-3}{x-2}$

Sper că ai înțeles!