Question

AJUTOOOOOR !!!!!!! VA ROOOOOG !!!!! DAU COROANA !!!!! <3

Fie reprezentat triunghiul ascutitunghic ABC . Construim BB₁ ⊥ AC , B₁ ∈ (AC) , CC₁ ⊥ AB , C₁ ∈ (AB) , BB₁ ∩ CC₁ = {H} si fie M mijlocul segmentului AH .

a). Dovediti ca AH ⊥ BC .
b) . Demonstrati ca BH × B₁H = CH × C₁H .
c). Aratati ca triunghiul MB₁C₁ este isoscel

Answer 1

a)

BB1 si CC1 sunt inaltimi in ABC, BB1∩CC1={H} ortocentru in tr. ABC

prelungim AH pana intersecteaza BC in A1 ⇒ AA1  este cea de a treia inalltime in tr. ABC, rezulta AH⊥BC  (inaltimile intr-un tr. sunt concurente)

b)

triunghiurile dreptunghice BC1H si CB1H sunt asemenea deoarece:

∡BC1H=∡CB1H=90°, si ∡C1HB=∡CHB1 opuse la varf

rapoartele de asemanare sunt:

C1H/B1H=BH/CH ⇔ BH x B1H=CH x C1H

c)

stim ca mediana dusa din varful drept al unui tr. dreptunghic este jumatate din ipotenuza:

C1M este mediana in tr. dr. AHC1 ⇒ C1M=AH/2 (1)

B1M este mediana in tr. dr. AHB1 ⇒ B1M=AH/2 (2)

din (1) si (2) rezulta C1M=B1M ⇒ tr. MB1C1 este isoscel