Question

Ajutooor va rog.. Sa se arate ca numerele N=1997+2×(1+2+3+...+1996) si P=1+3+5+...+1997 sunt patrate perfecte. Generalizare.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Formula care ne ajută aici este următoarea:

suma numerelor 1+2+3+ .....+n = $\frac{n(n+1)}{2}$

1997+2(1+2+.....1996) = 1997 + 2(1996×1997)/2 = 1997+1996×1997 =

= 1997(1+1996) = 1997 × 1997 = 1997²

Pentru 1+3+5+.... 1997 facem un artificiu, și anume:

1+3+5+... 1997 = 1+2+3+....1997 - 2-4-6-......-1996 (adică suma numerelor impare este egală cu suma tuturor numerelor, din care scădem numerele pare).

= (1997×1998)/2 - 2(1+2+3+.....998) = 1997×999 - 2×(998×999)/2 =

= 1997×999 - 998×999 = 999(1997-998) = 999×999 = 999²

Generalizare:

Suma primelor numere impare este întotdeauna pătrat perfect.

1+3+5+ ..... 2n+1 este pătrat perfect.

Demonstrație:

1+3+5+ ..... 2n+1 = 1+2+.....+(2n)+(2n+1) - 2-4-6-...... -(2n) =

= $\frac{(2n+1)(2n+2)}{2}$ - 2×$\frac{n(n+1)}{2}$ = $\frac{2n+1)2(n+1)}{2} - n(n+1)$ = (2n+1)(n+1) - n²-n =

= 2n²+2n+n+1 - n²-n = n²+2n+1 = (n+1)²