Question

AJUTOR

2. Piramida patrulatera regulata VABCD are toate muchiile de lungime 4 radical din 2 centimetri. Punctele P, M si N sunt mijloacele muchiilor VD, AB, respectiv AD, iar mijlocul segmentului MP este Q.

a) Determinati lungimea inaltimii piramidei VABCD
b) Demonstrati ca dreapta VA este paralela cu planul (MNP)
c) Demonstrati ca dreapta OQ este perpendiculara pe planul (MNP)

Va rog am nevoie urgent.. macar doua puncte.
Multumesc.

Answer 1

Pentrru usurinta calcyulelor, vom nota VA=AB=a
a) in piramida patrulatera cu toate muchiile egale, 2 muchii laterale opuse sunt perpendiculare (rec Teo Pitagora intr-un tr cu lat a, a, a√2)
deci VO, inaltime, mediana coresp ipotenuzei= a√2/2=4√2*√2/2=4

b) MP l.m in ΔVAD, MP|| AV, AV||MP⊂(MNP), AV||(MNP)

c)In triunghiul NOP, NQ=QP, deci OQ  e mediana
ΔVOD, dreptunghic in O,deci OP, mediana coresp ipotenuzei VD;
OP=VD/2=a/2
ON=apotema bazei=a/2. deci PON tr isoscel de baza PN, mediana coresp bazei e si inaltime, deci OQ⊥PN (1)

m∡(MP, MN)=m∡(AV, BD)
cum BD⊥(VAC)*⇒m∡(AV, BD)=90°=m∡(MP, MN)⇔MP⊥ MN⇔PMN dreptunghic inM⇒(pitagora) PN=√((a/2)²+(a√2/2)²)=a√3/2
Q mijloc PN⇒MP mediana coresp ipotenuzei, MQ=a√3/4+QN
OQ= (pitagora in tr OQN)= √(a/2)²-(a√3/4)²=a/4
verificam dac MQP este cumva dreptunghic in Q
MQ=a√3/4
OQ=a/4
OM=a/2
esteeee
3a²/16+ a²/16=4a²/16=a²/4 adevarat deciREc Teo Pitagora  OQ⊥MQ (2)

din (1) si (2)⇒OQ ⊥2 drepte concurente din (MPN) ⇔OQ⊥(MPN)








* BD⊥AC diag patrat
BD⊥VO, pt ca VO⊥BD, deci BD ⊥2 drepte concurente din (VAC), BD⊥(VAC)