Question

ajutor, cine poate, urgent
Studiaza cu ajutorul derivatelor f : D -> R, f(x)=x^2/x+1


​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$f(x)=\frac{x^{2} }{x+1}$

Studiem monotonia

$f'(x)=\frac{2x(x+1)-x^{2} }{(x+1)^{2} } =\frac{2x^{2} +2x-x^{2} }{(x+1)^{2} }=\frac{x^{2} +2x }{(x+1)^{2} }$

f'(x)=0⇒ x²+2x=0

x(x+2)=0

x=0 si x=-2

facem tabel semn

 x        |-∞              -2               0             +∞|

f'(x)      | +    +   +  + 0 -  -   -   -  0 +  +   +  +

f(x)      |     ↑    ↑     f(-2) ↓      ↓ f(0) ↑       ↑

                            -4                 0                 puncte de extrem

f(x) crescatoare pe (-∞,-2)∪(0,+∞)

f(x) descrescatoare pe (-2,0)

Studiem convexitate/concavitate

f''(x)=0

$f''(x)=\frac{(2x+2)(x+1)^{2} -2(x^{2} +2x)(x+1)}{(x+1)^{4} }$

$f''(x)=\frac{(2x+2)(x^{2} +2x+1) -2x^{3} -2x^{2}- 4x^{2} -4x)}{(x+1)^{4} }$

$f''(x)=\frac{2x^{3}+4x^{2} +2x+2x^{2} +4x+2 -2x^{3} -2x^{2} -4x^{2} -4x}{(x+1)^{4} }$

$f''(x)=\frac{2x+2}{(x+1)^{4} }=0$

2x+2=0

x=-1

facem tabel semn

 x      |-∞               -1                   +∞

f''(x)   |- - - - - - - - - 0+ + + + + + +

f(x)     | concava   f(-1) convexa

                            nu avem punct de inflexiune pentru ca numitorul ar fi 0 si nu se poate