Question

ajutor cu exercitiul 16. La punctul a) aveti deja rezolvarea. dau 100 puncte.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

b.

Fie b un numar cuprins intre 50 si 250 care satisface conditia din enunt.

DIn teorema impartirii cu rest, avem ca exista  x, y si z sunt numere naturale astfel incat

b = 3x + 1

b = 8y + 1

b = 12z + 1

asadar:

b - 1 = 3x ⇔ (b - 1) este multiplu al lui 3

b - 1 = 8y ⇔ (b - 1) este multiplu al lui 8

b - 1 = 12z ⇔ (b - 1) este multiplu al lui 12

Deci (b - 1) estre multiplu al cmmdc pentru 3, 8 si 12 (adica 24), deci exista numarul natural k astfel incat b - 1 = 24k

deci

b = 24k + 1.

cum 50 < b < 250 atunci

50 < 24k + 1 < 250

51 < 24k < 251

2,125 < k < 10.45, cun k este numar natural k ∈{ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, si atunci b ∈ {73 , 97 , 121, 145 , 169, 193, 217, 241}

c.

Fie c un numar de 3 cifre care impartit la 3, 6, 8 si 11 da acelasi rest.

Cum restul trebuie sa fie mai mic decat catul, rezulta ca acest rest trebuie sa fie mai mic decat 3, adica poate sa fie 0, 1 sau 2

Hai sa notam cu r acest rest.

DIn teorema impartirii cu rest, avem ca exista  x, y si z t sunt numere naturale astfel incat

c = 3x + r

c = 6y + r

c = 8z + r

c = 11t + r

asadar:

c - r = 3x ⇔ (c - r) este multiplu al lui 3

c - r = 6y ⇔ (c - r) este multiplu al lui 6

c - r = 8z ⇔ (c - r) este multiplu al lui 8

c - r = 11t ⇔ (c - r) este multiplu al lui 11

Deci (c - r) estre multiplu al cmmdc pentru 3, 6, 8 si 11 (adica 264), deci exista numarul natural k astfel incat c - r = 264k

deci

c = 264k + r

99 < c < 1000 (deoarece c are trei cifre) ⇒

99 < 264k + r < 1000

observam ca 264*4 = 1056, deci pentru orice r ∈ {0, 1 , 2} , 264*4 + r ≥ 1056 > 1000, deci k trebuie sa fie mai mic decat 4

de asemenea, orice numar natural nenul k am alege, 264*k > 264 > 99

Asadar, c = 264k + r, cu k ∈ {1, 2, 3} si r ∈ {0, 1, 2}

c ∈ {264, 265, 266, 528, 529, 530, 792, 793, 794}

d)

Fie d un numar de 3 cifre care impartit la 111, 222 si 333 da acelasi rest.

Cum restul trebuie sa fie mai mic decat catul, rezulta ca acest rest trebuie sa fie mai mic decat 111.

Hai sa notam cu r acest rest.

DIn teorema impartirii cu rest, avem ca exista  x, y si z t sunt numere naturale astfel incat

d = 111x + r

d = 222y + r

d = 333z + r

asadar:

d - r = 111x ⇔ (d - r) este multiplu al lui 111

d - r = 111y ⇔ (d - r) este multiplu al lui 222

d - r = 111z ⇔ (d - r) este multiplu al lui 333

Deci (d - r) estre multiplu al cmmdc pentru 111, 222 si 333 (adica 666), deci exista numarul natural k astfel incat d - r = 666k

deci

d = 666k + r

99 < d < 1000 (deoarece d are trei cifre) ⇒

99 < 666k + r < 1000

observam ca 666*2 = 1332, deci pentru orice r <111 , 264*2 + r ≥ 1056 > 1000, deci k trebuie sa fie mai mic decat 2

daca k = 0 ⇒ d = 666k + r = r

⇒ 99 < r < 1000 ⇒ 99 < r < 1000, si cum r < 111 ⇒ d = r ∈ {100 , 101 , 102 , ... , 110}, adica sunt 11 numere care satisfac cerinta.

daca k = 1 ⇒ d = 666k + r = 666 + r

observam ca pentru orice r numar natural, r < 111 , 99 < 666 + r < 777 < 999, deci toate numerele naturale mai mici decat 111 satisfac conditia.

Prin urmare, sunt 11 + 110 = 121 de numere, acestea fiind

{100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 666, 667, 668, ... 776}