Question

AJUTOR DAU COROANA!
Fie 5 numere naturale consecutive. Daca suma a patru dintre ele este 2014^n, aratati ca produsul lor este divizibil cu 4,oricare ar fi n numar mai mare sau egal cu 2.

Answer 1

Consideram sirul de numere naturale consecutive
a,b,c,d si e astfel incat
b=a+1
c=b+1 =>c=a+2
d=c+1 =>d=a+3
e=d+1 =>e=a+4
Pentru orice n numar natural astfel incat n≥2 ,obtinem ca
4¹=4
4²=16
4³=64
Ultima cifra a unei puteri naturale 4ⁿ (unde n≥2) poate fi 6 sau 4.
Asadar ,u.c(2014ⁿ)=u.c(4ⁿ)∈{6;4}.
Daca n=4k+2 ,pentru k∈N atunci u.c(2014ⁿ)=6 .
Daca n=4k+1 sau n=4k+3 ,pentru k∈N atunci u.c(2014ⁿ)=4 .
Consideram prin absurd ca
b+c+d+e=2014ⁿ ⇔a+1+a+2+a+3+a+4=2014ⁿ ⇔4a+10=2014ⁿ
Observam ca pentru n≥2 ,2014ⁿ este divizibil cu 4 ,deoarece un produs de doua sau mai multe numere pare intregi (de acelasi semn sau nu) este divizibil cu 2·2=4 si de asemenea 4/4a pentru orice a∈N.
Astfel obtinem ca 10 este divizibil cu 4 ,contradictie de unde n≥2 ,contradictie.
Analog pentru cazul a+b+c+d=2014ⁿ (si toate celelalte variante posibile) unde a+a+1+a+2+a+3=4a+6=2014ⁿ ⇔4 divide 6 ,contradictie.
Si deoarece suma a patru numere naturale consecutive este cel putin egala cu 0+1+2+3=6 rezulta ca n=1.
Pentru n=1 obtinem ca a+b+c+d=2014 ⇔4a+10=2014 ⇔a=501 de unde
b=502; c=503 si d=504.
Conform teoremei impartirii cu rest stim ca un numar natural impartit la 4 poate da resturile 0;1;2;3 adica 4 valori posibile.
Conform principiului cutiei ,dintre cele 4 numere consecutive a;b;c si d cel putin unul va da restul 0 la impartirea cu 4 ,asadar produsul lor este divizibil cu 4 ,pentru a;b;c;d;e naturale consecutive si n=1.