Question

Ajutor! Determinaţi numerele naturale a+b+c/6=b+c+d/9=a+c+d/8=a+b+d/7 și că 3a+4b+5c+6d = 600​

Answer 1

Răspuns:

a = 12

b = 24

c = 36

d = 48

Explicație pas cu pas:

$\frac{a+b+c}{6} = \frac{b+c+d}{9} = \frac{a+c+d}{8} = \frac{a+b+d}{7} = k$

unde k este un număr pe care-l vom calcula ulterior.

Din șirul de egalități de mai sus rezultă:

a+b+c = 6k   (1)

b+c+d = 9k  (2)

a+c+d = 8k   (3)

a+b+d = 7k   (4)

Acum ne ocupăm de relația 3a+4b+5c+6d = 600

Desfășurăm termenii pentru a-i putea grupa în funcție de cele 4 egalități de mai sus:

a+a+a + b+b+b+b + c+c+c+c+c + d+d+d+d+d+d = 600

Grupăm termenii:

(b+c+d) + (b+c+d) + (b+c+d) + (a+b+d) + (a+c+d) + (a+c+d) = 600

Am folosit parantezele pentru a înlocui mai ușor sumele respective cu corespondentul fiecăreia, conform egalităților (1), (2), (3)  și (4):

9k + 9k + 9k + 7k + 8k + 8k = 600

50k = 600 ⇒ k = 12

Știind pe k, egalitățile de mai sus devin:

a+b+c = 72    (1)

b+c+d = 108  (2)

a+c+d = 96   (3)

a+b+d = 84   (4)

Efectuăm (2) - (1): ⇒ b+c+d - a-b-c = 108-72 ⇒ d-a = 36 ⇒ a = d-36  (5)

Efectuăm (3) - (1): ⇒ a+c+d - a-b-c = 96-72 ⇒ d-b = 24 ⇒ b = d-24   (6)

Efectuăm (4) - (1): ⇒ a+b+d - a-b-c = 84-72 ⇒ d-c = 12 ⇒ c = d-12     (7)

În relația (1) înlocuim pe a, b și c conform relațiilor (5), (6) și (7):

a+b+c = 72 ⇒ d-36 + d-24 + d-12 = 72 ⇒ 3d = 144 ⇒ d = 48

Știind pe d, din relațiile (5), (6) și (7) calculăm pe a, b și c:

a = 48 - 36 ⇒ a = 12

b = 48 - 24 ⇒ b = 24

c = 72 - 12 ⇒ c = 36

Verificare:

3a+4b+5c+6d = 3×12 + 4×24 + 5×36 + 6×48 = 36 + 96 + 180 + 288 = 600

Rezultatul este conform enunțului, deci calculele noastre au fost corecte!