Ajutor la C17 vă rog
Răspunsuri la întrebare
Exercitiul C 17
x⁴+x³+x²-x-2=0
O "smecherie" este sa "spargi" niste coeficienti in ceva care sa se poata "lega" cu ceilalti din jur, ideea fiind sa ii poti grupa convenabil, si sa dai FACTOR COMUN.
Si apoi, din ce iti ramane prin paranteze, sa poti da factor comun, si asa, incet incet, sa reduci totul la PRODUS de termeni (ecuatii simple), carora le poti afla/sti solutia/radacinile.
Dar aici nu merge.
Alta "smecherie", mai intai te uiti la termenul liber (care nu contine nici o necunoscuta). Si ii cauti divizorii.
Incerci si vezi daca acesti divizori sunt sau nu solutii (sau radacini).
La exercitiul nostru il avem pe 2. Divizorii lui 2 sunt 1 si 2. Dar luam si cu semnul minus.
Verificam daca x=1 este solutie a ecuatiei noastre:
x⁴+x³+x²-x-2=0
1+1+1-1-2 =0
0=0 deci x=1 este solutie
Daca verificam apoi pe x= -1 ne va da ca si x= -1 este solutie a ecuatiei.
Am descoperit doua solutii.
2 si -2 nu sunt solutii.
Ce facem in continuare ?
Facem impartire de polinoame:
Daca x=1 este solutie,
aceasta inseamna ca x⁴+x³+x²-x-2 se imparte la polinomul x-1 fara rest.
Obtinem un polinom de grad mai mic care il vom imparti la celalalt polinom, la x+1, pentru ca si x= - 1 este solutie.
Deci:
x=1
x⁴+x³+x²-x-2 ║ x - 1
- x⁴+x³ x³+2x²+3x+2
/ 2x³+x² - x - 2
-2x³+2x²
/ 3x² -x -2
-3x² +3x
/ 2x - 2
-2x +2
/ /
Am obtinut x³+2x²+3x+2 acest polinom de grad mai mic.
Si tot asa.
Acum il impart pe acesta la alt polinom: x+1 pentru ca x=-1 este solutie a ecuatiei noastre.
x³+2x²+3x+2 ║ x + 1
- x³-x² x² + x + 2
/ x² + 3x + 2
-x² - x
/ 2x +2
-2x -2
/ /
Si am obtinut polinomul x² + x + 2
Acum ecuatia noastra arata asa:
(x-1) (x+1) (x² + x + 2) = 0
Avem produs de factori. Putem afla toate solutiile ecuatiei.
x² + x + 2 = 0
Ecuatie de gradul doi:
- 1 ± √ 1-8 - 1 ± i √ 7
x₁ ; ₂ = --------------------- = -------------------
2 2
x₁ = ( -1 + i √ 7) / 2
x₂ = ( -1 - i √ 7) / 2
Deci, solutiile ecuatiei de gradul patru sunt:
x₁ = ( -1 + i √ 7) / 2
x₂ = ( -1 - i √ 7) / 2
x₃ = - 1
x₄ = 1
Răspuns:
radacinile rationale sunt -1 si 1
Explicație pas cu pas:
Se foloseste proprietatea ca solutiile rationale , daca exista ,sunt de forma p/q unde p este divizor intreg al termenului liber s q este divizor intreg al coeficientului dominant,
in cazul nostru, p|(-2) si q|1
deci, daca exista, solutiile rationale apartin multimii {-2;-1;1;2}
f(-2)=16-8+4+2-2=8+4≠0 deci -2 nu este radacina
f(-1)=1-1+1+1-2=0+0=0 ....... -1 ESTE RADACINA
f(1)=1+1+1-1-2=0 ......... 1 ESTE RADACINA
f(2) =16+8+4-2-2=16+8≠0.....deci 2 NU ESTE RADACINA
deci radacinile rationale sunt -1 si 1