Question

Ajutor !!! La exercițiul 8 , subpunctele a și b

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$\begin{cases} (n - 2)^{2} \leqslant n\\ n \geqslant 0 \\ n - 2 \leqslant (n - 2)^{2} \\n - 2 \geqslant 0 \end{cases} \iff \begin{cases} {n}^{2} - 4n + 4 - n \leqslant 0 \\ {n}^{2} - 4n + 4 - n + 2 \geqslant 0 \\n \geqslant 2 \end{cases}$

$\begin{cases} {n}^{2} - 5n + 4 \leqslant 0 \\ {n}^{2} - 5n + 6 \geqslant 0 \\n \geqslant 2 \end{cases} \iff \begin{cases} (n - 1)(n - 4) \leqslant 0 \\ (n - 2)(n - 3) \geqslant 0 \\n \geqslant 2 \end{cases}$

$n \in \mathbb{N} \implies n \in \{2;3;4\}$

$\dfrac{n!}{[n - (n - 2)^{2}]!} + \dfrac{(n - 2)^{2}!}{(n - 2)![(n - 2)^{2} - (n - 2)]!} = 4$

n = 2

$A_{2}^{0} + C_{0}^{0} = \dfrac{2}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$

n = 3

$A_{3}^{1} + C_{1}^{1} = \dfrac{6}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$

n = 4

$A_{4}^{4} + C_{4}^{2} = \dfrac{24}{1} + \dfrac{24}{4} = 24 + 6 = 30$

=> unica soluție este n = 3

b)

$\begin{cases} 10 - x^{2} - 2x \leqslant 2x - 1\\ 10 - x^{2} - 2x \geqslant 0\\2x - 1 \geqslant 0 \end{cases} \iff \begin{cases}x^{2} + 4x - 11 \geqslant 0\\ x^{2} + 2x - 10 \leqslant 0\\2x \geqslant 1 \end{cases}$

$x \in \mathbb{N} \implies \begin{cases} x \in \Big\{ 2; 3; 4; ... \Big\} \\x \in \Big\{ 0; 1; 2 \Big\} \\x \in \Big\{ 1; 2; 3; ... \Big\} \end{cases} \\ \implies x = 2$

$C_{2x - 1}^{10 - x^{2} - 2x} = C_{3}^{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

=> unica soluție este x = 2