Question

Ajutor, nu ma descurc, dau coroana si multe puncte!!!

a) Arătați că A=5^n + 2 + 5^n+1+5^n se divide cu 31

b) Arătați că B=14^n + 2^n • 7^n + 1 + 2^n + 1 • 7^n se divide cu 10

P.S.: aveți si poza dacă nu intelegeti

Answer 1

A=5^(n + 2) + 5^(n+1)+5^n se divide cu 31

Fie P(n) = 5^(n + 2) + 5^(n+1)+5^n ≥ 0 (merge si cu 0 !)

Pasul 1, verificam cazul particular al primului numar din sir: 

Pentru n=0, P(0)= 5^(0 +2)+5^(0+1)+5^0=>P(0)=25+5+1=>P(0)=31, deci divizibil cu 31.

Pasul 2, demonstram ca daca P(n) adevarata, atunci P(n+1) adevarata.

Deci 5^(n + 2) + 5^(n+1)+5^n=31a (divizibil cu 31)

P(n+1) = 5^(n + 1 +2) + 5^(n+1+1)+5^(n+1)=>

=>P(n+1) = 5*5^(n +2) + 5*5^(n+1)+5*5^n=>

=>P(n+1) =5[5^(n + 2) + 5^(n+1)+5^n]=>

=>P(n+1) =5*31a=> P(n+1) divizibil cu 31.

Rezulta P(n) adevarat.

B=14^n + 2^n • 7^(n + 1) + 2^(n + 1) • 7^n se divide cu 10

Pasul 1, verificam cazul particular al primului numar din sir: 

Pentru n=0, P(0)= 14^0+2^0 • 7^(0 + 1) + 2^(0 + 1) • 7^0 =>

=>P(0)=1+1 • 7^1 + 2^1 • 1=>

=>P(0)=1+7 + 2=>P(0)=10, deci divizibil cu 10.

Pasul 2, demonstram ca daca P(n) adevarata, atunci P(n+1) adevarata.

Deci 14^n + 2^n • 7^(n + 1) + 2^(n + 1) • 7^n=10a (divizibil cu 10)

P(n+1) = 14^(n+1) + 2^(n+1) • 7^(n + 1+1) + 2^(n + 1+1) • 7^(n+1) =>

=>P(n+1) =14 • 14^n + 2 • 2^n • 7 • 7^(n + 1) + 2 • 2^(n + 1) • 7 • 7^n=>

=>P(n+1) =14 • 14^n + 14 • 2^n • 7^(n + 1) + 14 • 2^(n + 1) • 7^n=>

=>P(n+1) =14 •  [14^n + 2^n • 7^(n + 1) + 2^(n + 1) • 7^n]=>

=>P(n+1) =14 •  10a=> P(n+1) divizibil cu 10.

Rezulta P(n) adevarat.