Question

Ajutor urgent vă rog dau Coroana și puncte multe ex 17​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a, c, h le rezolvam in mod asemanator

si apoi

b, d, e, f si g dupa acelasi algoritm:

2^1 = 2

2^2 = 4

2^3 = 8

2^4 = _6

si apoi se tot repeta terminatiile din 4 in 4, ca mai sus, dupa perioada

2, 4, 8, 6.

a)

4^53 = (2^2)^53 = 2^106

106 : 4 = 26 rest 2, deci a 2-a cifra din perioada de 4 cifre care se repeta, deci avem

U(4^53) = 4

c) 2^61

61 : 4 = 15 rest 1, deci

U(2^61) = 2, adica prima cifra a perioadei.

h) 2^80

80 : 4 = 20 si rest 0, deci ultima cifra a perioadei este cea cautata.

U(2^80) = 6.

Mai departe avem puterile lui 3:

3^1 = 3

3^2 = 9

3^3 =_7

3^4 = _1 si se repeta, ca si mai sus aceasta perioada a ultimelor cifre

3, 9, 7, 1.

b) 9^72 = (3^2)^72 = 3^144

144 : 4 = 36, rest 0 si cum restul 0 il avem din 4 in 4, atunci ultima cifra a perioadei este cea cautata:

U(9^72) = U(3^144) = 1

d) 3^42

42 : 4 = 10 rest 2

U(3^42) = 9, a 2-a cifra a perioadei, asa cum ne induca restul impartirii exponentului la numarul elementelor perioadei de repetitie.

f) 3^56

56 : 4 = 14, rest 0

U(3^56) = 1. Rationamentul il ai mai sus, asemanator la b) si h).

g) 3^75

75 : 4 = 18, rest 3

U(3^75) = 7.

Answer 2

Răspuns:

a) u.c. 4⁵³ = 4

b) u.c. 9⁷² = 1

c) u.c. 2⁶¹ = 2

d) u.c. 3⁴² = 9

e) u.c. 2⁸³ = 8

f)  u.c. 3⁵⁶ = 1

g)  u.c. 3⁷³ = 3

h) u.c. 2⁸⁰ = 6

Explicație pas cu pas:

Calculăm ultima cifră a numărului 2ⁿ

u.c. 2¹ = 2

u.c. 2² = 4

u.c. 2³ = 8

u.c. 2⁴ = 6

u.c. 2⁵ = 2

Observăm că ultima cifră a lui 2ⁿ se formează după următoarea regulă:

pentru n = 4k+1 u.c. 2ⁿ = 2 unde k ∈ N

pentru n = 4k+2 u.c. 2ⁿ = 4

pentru n = 4k+3 u.c. 2ⁿ = 8

pentru n = 4k u.c. 2ⁿ = 6

Calculăm ultima cifră a numărului 3ⁿ

u.c. 3¹ = 3

u.c. 3² = 9

u.c. 3³ = 7

u.c. 3⁴ = 1

u.c. 3⁵ = 3

Observăm că ultima cifră a lui 3ⁿ se formează după următoarea regulă:

pentru n = 4k+1 u.c. 3ⁿ = 3 unde k ∈ N

pentru n = 4k+2 u.c. 3ⁿ = 9

pentru n = 4k+3 u.c. 3ⁿ = 7

pentru n = 4k u.c. 3ⁿ = 1

a) 4⁵³ = (2²)⁵³ = 2¹⁰⁶

106 are forma 4k+2 unde k = 26 ⇒ u.c. 2¹⁰⁶  = 4

b) 9⁷² = (3²)⁷² = 3¹⁴⁴

144 are forma 4k, unde k = 36 ⇒ u.c. 3¹⁴⁴ = 1

c) 61 are forma 4k+1 unde k = 15 ⇒ u.c. 2⁶¹ = 2

d) 42 are forma 4k+2 unde k = 10 ⇒ u.c. 3⁴² = 9

e) 83 are forma 4k+3 unde k = 20 ⇒ u.c. 2⁸³ = 8

f) 56 are forma 4k unde k = 14 ⇒ u.c. 3⁵⁶ = 1

g) 73 are forma 4k+1 unde k = 18 u.c. 3⁷³ = 3

h) 80 are forma 4k unde k = 20 ⇒ u.c. 2⁸⁰ = 6