Question

Ajutor, va rog. Exercițiile din poza

Answer 1

$1)log_{x + 1}( {x}^{2} + 3x - 14) = 2$

Condiții de existență :

$x + 1 > 0$

$x + 1 \neq1$

${x}^{2} + 3x - 14 > 0$

${(x + 1)}^{2} = {x}^{2} + 3x - 14$

${x}^{2} + 2x + 1 = {x}^{2} + 3x - 14$

${x}^{2} - {x}^{2} + 2x - 3x + 1 + 14 = 0$

$- x + 15 = 0$

$- x = - 15 \: | \times ( - 1)$

$x = 15 \: verifica \: conditiile$

$S=\left\{15\right\}$

$2) log_{4}( {3}^{x} - 1) = log_{4}( - {3}^{x} + 14)$

Condiții de existență :

${3}^{x} - 1 > 0$

$- {3}^{x} + 14 > 0$

${3}^{x} - 1 = - {3}^{x} + 14$

${3}^{x} + {3}^{x} = 14 + 1$

$2 \times {3}^{x} = 15$

${3}^{x} = \frac{15}{2}$

$ln {3}^{x} = ln \frac{15}{2}$

$xln3 = ln \frac{15}{2}$

$x = \frac{ln \frac{15}{2} }{ln3} \:\:vetifica \:conditiile$

$S=\left\{\frac{ln \frac{15}{2} }{ln3}\right\}$

$3) log_{3}( {x}^{2} - 14x + 22) = 2$

Condiția de existență :

${x}^{2} - 14x + 22 > 0$

${x}^{2} - 14x + 22 = {3}^{2}$

${x}^{2} - 14x + 22 = 9$

${x}^{2} - 14x + 22 - 9 = 0$

${x}^{2} - 14x + 13 = 0$

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 13$

$\Delta = {b}^{2} - 4ac$

$\Delta = {( - 14)}^{2} - 4 \times 1 \times 13$

$\Delta = 196 - 52$

$\Delta = 144$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{ - ( - 14) \pm \sqrt{144} }{2 \times 1} = \frac{14 \pm12}{2}$

$x_{1} = \frac{14 + 12}{2} = \frac{26}{2} = 13 \: \: verifica \: conditia$

$x_{2} = \frac{14 - 12}{2} = \frac{2}{2} = 1 \: verifica \: conditia$

$S=\left\{1,13\right\}$

$4) log_{x}(2 {x}^{2} - 3x) = 1$

Condiții de existență :

$x > 0$

$x \: \neq \: 1$

$2 {x}^{2} - 3x > 0$

$2 {x}^{2} - 3x = {x}^{1}$

$2 {x}^{2} - 3x = x$

$2 {x}^{2} - 3x - x = 0$

$2 {x}^{2} - 4x = 0 \: | \div 2$

${x}^{2} - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

$x_{1} = 0 \: nu \: verifica \: conditiile$

$x - 2 = 0 = > x_{2} = 2 \: verifica \: conditiile$

$S=\left\{2\right\}$