Question

AJUTOR , VA ROG FRUMOS ! CHIAR AM NEVOIE ! URGENT! PE LANGA PUNCTE OFER COROANA+EVALUEZ+MULTUMESC! 1.Demonstrati ca intr-un triunghi dreptunghic mediana dusa la ipotenuza este jumatate din ipotenuza. 2.Dreptunghiul ABCD, AB are latura AB=2BC. se duc bisectoarele (DN a unghiului ADC, N∈(AB) si (BM a unghiului ABC, M∈(DC). DN intersectat cu C=(E), BM intersectat cuAC=(F). aratati ca AE=EF=FC .

Answer 1

1. Fie ABC (<A=90 grd) si AO mediana.
Prelungesc pe AO cu OD=AO...rezulta un paralelogram ABDC care are diagonalele BC si AD care se impart in parti congruente.
Dar stiu ca <A=90 grd deci rezulta ca ABDC e dreptunghi .
Stiu ca dreptunghiul are diagonalele congruente , rezulta AD=BC deci AO=BO=CO , deci mediana AO e jumatate din ipotenuza

2. In trg ACD stiu ca DE e bisectoare , rezulta din teorema bisectoarei ca AD/CD=AE/EC
AD/AB=1/2, rezulta ca AE/EC=1/2
de aici rezulta ( din proportii derivate cu termeni schimbati)
AE/AE+EC=1/1+2
AE/AC=1/3, 

In trg ABC, BF e bisectoare, scriu din nou Teorema bisectoarei
BC/AB=CF/AF=1/2
din nou scriu proportii derivate
CF/CF+AF=1/1+2
CF/AC=1/3
deci AE=FC= AC/3
EF=AC-(AE+CF)=AC-2/3*AC=AC/3
De aici rezulta ca AE=EF=FC