Ajutor va rog frumos ! Demonstrati ca pentru orice triunghi ABC are loc realatia: cosA+cosB+cosC=(R+r)/R (R-raza cercului circumscris , r-raza cercului inscris)
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
4
cosA + cosB + cosC
= 2cos(A + B)/2 cos(A - B)/2 + 1 - 2sin^2(C/2)
= 1 + 2cos(π - C)/2 cos(A - B)/2 - 2sin^2 (C/2)
= 1 + 2sin(C/2) cos(A - B)/2 - sin^2 (C/2)
= 1 + 2sin(C/2) [cos(A - B)/2 - sin[π/2 - (A + B)/2]sin(C/2)]
= 1 + 2sin(C/2) * [cos(A - B)/2 - cos(A + B)/2]
= 1 + 4sin(C/2) sin(A/2) sin(B/2)
= 1 + 4√[(s-a)(s-b)/ab] * √[(s-b)(s-c)/bc] * √[(s-c)(s-a)/ca]
= 1 + 4√[s(s-a)(s-b)(s-c)]^2/(abc)^2 /(a^2b^2c^2s^2)]
= 1 + 4 [s(s-a)(s-b)(s-c)]/sabc
= 1 + 4Δ^2/sabc
= 1 + (Δ/s) * (4Δ/abc)
= 1 + r/R=(R+r)/R
= 2cos(A + B)/2 cos(A - B)/2 + 1 - 2sin^2(C/2)
= 1 + 2cos(π - C)/2 cos(A - B)/2 - 2sin^2 (C/2)
= 1 + 2sin(C/2) cos(A - B)/2 - sin^2 (C/2)
= 1 + 2sin(C/2) [cos(A - B)/2 - sin[π/2 - (A + B)/2]sin(C/2)]
= 1 + 2sin(C/2) * [cos(A - B)/2 - cos(A + B)/2]
= 1 + 4sin(C/2) sin(A/2) sin(B/2)
= 1 + 4√[(s-a)(s-b)/ab] * √[(s-b)(s-c)/bc] * √[(s-c)(s-a)/ca]
= 1 + 4√[s(s-a)(s-b)(s-c)]^2/(abc)^2 /(a^2b^2c^2s^2)]
= 1 + 4 [s(s-a)(s-b)(s-c)]/sabc
= 1 + 4Δ^2/sabc
= 1 + (Δ/s) * (4Δ/abc)
= 1 + r/R=(R+r)/R
irinaosovschi:
Multumesc mult! Dar ai putea te rog mult sa-mi explici citea detalii , cum se obtine ceea ce sa obtinut ?
La inceput s-a folosit transformarea sumei in produs si in final s-a utilizat formula pentru sinusul unghiului la jumatate.
dar cum ajungem de la cosC la 1-2sin^2(C/2) ?
Stim ca cos2C=1-2sin^2C
Daca in relatia de mai sus punem in loc de C pe C/2 obtinem cosC=1-2sin^2(C/2
mersi , dar ce este s ,a,b,c si delta ?
Alte întrebări interesante
Engleza,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Ed. muzicală,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă