Question

Ajutorrrr!!! dau coroana

Answer 1

(m, f(m)) ∈ N* x N*

Asta inseamna defapt ca m si f(m) sunt numere naturale, deci:

[tex]f(m)\in N^*\\\\ \frac{-3+2m}{m+1}m-2\in N^*\\\\ \frac{2m^2-3m}{m+1}-2\in N^*[/tex]

Vom pune totusi conditia sa apartina lui Z, pentru ca se poate lucra mai usor, si verificam la sfarsit pentru solutiile obtinute daca f(m) ∈ N*

[tex]\frac{2m^2-3m}{m+1}-2\in Z\\\\ 2\in Z \rightarrow \boxed{\frac{2m^2-3m}{m+1} \in Z}[/tex]

Asadar, trebuie sa gasim valorile lui m pentru care acea fractie apartine lui Z. Daca acea fractie este intreaga, inseamna ca numitorul divide numaratorul:

$m+1\ |\ 2m^2-3m\ \ \  (1)$

Putem folosi proprietatile divizibilitatii:
-daca m | a si m | b, atunci m | a + b si m | a - b
-daca m | a, atunci pe a il putem inmulti cu orice numar intreg k: m | k * a

Stim ca orice numar intreg divide pe el insusi:
[tex]m + 1\ |\ m+1\\\\ \text{Inmultim cu (m+1)}:\\\\ m+1\ |\ (m+1)^2\\\\ m+1\ |\ m^2+2m+1\\\\ \text{Inmultim cu 2}:\\\\ m+1\ |\ 2m^2+4m+2\ \ \ (2)[/tex]

Scadem relatia (2) din relatia (1):
[tex]m +1\ |\ (2m^2-3m) - (2m^2+4m+2)\\\\ m+1\ |\ 2m^2-3m-2m^2-4m-2\\\\ m+1\ |\ -7m-2[/tex]

Dupa cum se observa, am scapat de 2m². Repetam acelasi proces pentru a scapa de -7m:

[tex]m+1\ |\ m+1\\\\ \text{Inmultim cu 7}:\\\\ m+1\ |\ 7m+7 \ \ \ (3)[/tex]

Adunam relatia (3) cu relatia obtinuta mai inainte:

[tex]m+1\ |\ (-7m-2) +(7m+7)\\\\ m+1\ |\ 5[/tex]

Deci m+1 este un divizor al lui 5. Divizorii lui 5 sunt:
$D_5=\{-5,-1,1,5\}\rightarrow (m+1)\in\{-5,-1,1,5\}\rightarrow m\in\{-6,-2,0,4\}$

Dar stim ca m ∈ N*, deci singura solutie valida este:
$\boxed{m=4}$

Acum trebuie sa verificam daca f(m) ∈ N*:
[tex]f(x)= \frac{-3+2\cdot4}{4+1}x-2=\frac{5}{5}x-2=x-2\\\\ f(m)=f(4)=4-2=2\in N^*[/tex]

Asadar:
$\boxed{f(x)=x-2}$

Acum nu mai trebuie decat sa verificam decat daca punctele apartin graficului:
[tex]f(-4)=-4-2=-6\ \rightarrow (-4,-6)\in G_f\ \ (\text{corect})\\\\ f(3)=3-2=1\neq-1\ \ (\text{Nu apartine graficului functiei})\\\\ f(0,(6))=f(\frac{2}{3})=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3}=-1,(3)\ \ (\text{corect})\\[/tex]