Question

Al 22,as dorii sa fie cat mai explicit. Multumesc.

Answer 1

Ecuația se rezolvă astfel:
Avem o sumă cu 2 termeni care are ca rezultat 0. Cei 2 termeni sunt 2 radicali.
Doar că știm că radicalii sunt tot timpul pozitivi(>=0).
Deci suma a 2 termeni pozitivi (cei 2 radicali) = 0.
Doar că, singura posibilitate suma a 2 termeni pozitivi să fie 0 este ca ambii din cei 2 termeni să fie 0. Deci ca acea sumă să fie adevărată trebuie ca și primul, dar și al doilea radical să fie 0, altfel nu s-ar putea obține 0.

Din asta rezultă că radicalii sunt 0, dar știm că √0 = 0. Deci și ce e sub radical va fi 0. Acum, centralizând:

x - 2 = 0
și
ax² - 2x - 1/a = 0

Se cere ca ambele ecuații să aibă cel puțin o rădăcină (rădăcină care să fie respectată de ambele ecuații).

Din prima ecuație rezultă că x = 2. (E singura rădăcină din prima condiție calculată (x-2=0), dacă asta nu este respectată și de cealaltă(ax² - 2x - 1/a), nu mai poate exista nicio altă rădăcină)

Acum, știind rădăcina, o înlocuim în a doua ecuație rezultată:
4a - 2*2 - 1/a = 0
4a - 4 - 1/a = 0      /înmulțim cu a
4a² - 4a - 1 = 0

Δ = 16 + 16 = 32
√Δ = 4√2

[tex]a_1 = \frac{-(-4)+4\sqrt2}{8}\\\\ = \frac{4+4\sqrt2}{8} = \frac{1+\sqrt2}{2}\\\\\\ a_2 = \frac{1-\sqrt2}{2}[/tex]

Answer 2

$\sqrt{x-2} + \sqrt{ax^2-2x-\dfrac{1}{a} =0} \\ \\ Ca aceasta ecuatie sa aibe solutie trebuie ca ce este sub radical \\ sa fie egal cu 0, deoarece radicalii sunt doar pozitivi, iar singurele \\ numere pozitive adunate care dau 0 sunt 0+0. \\ \\ \boxed{1} \quad x-2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ \\ \boxed{2} \quad ax^2-2x-\dfrac{1}{a}=0, iar x, adica solutia este 2 \Rightarrow$

$\Rightarrow a\cdot 2^2-2\cdot 2-\dfrac{1}{a} = 0 \Rightarrow 4a-4-\dfrac{1}{a} = 0 \Big|\cdot a \Rightarrow 4a^2-4a-1 = 0 \\ \\ \Delta = (-4)^2-4\cdot 4\cdot(-1) = 16+16 = 32 \\ \\ \Rightarrow a_{1,2} = \dfrac{4\pm\sqrt{32}}{2\cdot 4} = \dfrac{4\pm 4\sqrt2}{2\cdot 4} = \dfrac{1\pm\sqrt2}2} \\ \\ \Rightarrow \boxed{S =\Big\{\dfrac{1\pm\sqrt2}2\Big\}} \rightarrow c) corect$