Question

AL76
Pun condiția ca delta să fie <= 0?

Answer 1

Salut,

Notăm t = 3ˣ > 0.

Se cere ca inecuația din enunț să NU aibă soluții reale, deci avem de rezolvat inecuația:

t² -- 3mt + 2m² ≥ 0 (atenție că este ≥, exact pe dos, față de enunț).

Calculăm discriminantul Δ = b² -- 4ac = ... = m².

Pentru ca funcția de gradul al II-lea f(t) = t² -- 3mt + 2m², unde t > 0 să ia numai valori pozitive, distingem 2 cazuri posibile:

Cazul 1 din 2: întreaga familie de parabole f(t) = t² -- 3mt + 2m² (reprezentarea grafică a funcției f(t)) se va situa deasupra axei orizontale OX, cel mult o va atinge într-un singur punct, mă refer la f(t) ≥ 0.

Condițiile de pus sunt:

a > 0 (coeficientul lui t² este strict pozitiv, deci toate parabolele au "brațele" orientate în sus (dacă nu ar fi așa, adică dacă a < 0, atunci toate parabolele ar avea "brațele" orientate în jos, adică am avea cu siguranță valori negative, ceea ce contrazice cerința de a avea pentru f(t) numai valori pozitive).

Dar a = 1, care este mai mare decât 0, deci condiția a > 0 este valabilă pentru orice m ∈ R (1).

A doua condiție de la cazul 1 din 2 este Δ ≤ 0, adică ecuația f(t) = 0 are cel mult o soluție (una, sau nici una). Dacă are cel mult o soluție, atunci familia de parabole se află cu totul deasupra axei orizontale OX, sau cel mult o atinge într-un singur punct).

Δ = m² ≤ 0, relație care este valabilă pentru m = 0 (2).

Pentru cazul 1 din 2, am avea R ∩ {0}, deci m = 0 (*)

SAU

Cazul 2 din 2:

Δ = m² este pătrat perfect, se poate ușor afla că soluțiile ecuației f(t) = 0 sunt t₁ = m și t₂ = 2m.

O funcție f(t) cu soluțiile t₁ și t₁ poate fi scrisă așa f(t) = t² -- St + P (3), unde

S = t₁ + t₂, iar P = t₁·t₂.

Din relația (3) condițiile de pus pentru ca f(t) ≥ 0, cu t > 0 ar fi așa:

S < 0

P > 0

Δ ≥ 0

S < 0, ambele soluții t₁ și t₂ sunt negative (dacă cel puțin una ar fi pozitivă, coroborat cu Δ ≥ 0, ar însemna că o parte din parabolă se află sub axa orizontală OX, adică există m pentru care f(t) < 0, ceea ce nu convine, pentru că avem de căutat m pentru care f(t) ≥ 0).

P > 0, logic, dacă ambele soluții sunt negative, e clar că produsul lor e pozitiv.

Δ ≥ 0, deci ecuația f(t) are cel puțin o soluție reală, cu condițiile de mai sus, ca ambele soluții să fie reale.

S = --b/a = --(--3m)/1 = 3m < 0, deci m < 0 (4).

P = c/a = 2m² / 1 = 2m² > 0, deci m ∈ R (5).

Δ = m² ≥ 0, deci m ∈ R (6).

Pentru cazul 2 din 2, am avea intersecția condițiilor (4), (5) și (6), deci m < 0 (**).

Din condițiile (*) și (**), mai exact din reuniunea lor avem {0} U (--∞, 0) = (--∞, 0].

Soluția este deci m ≤ 0.

Acum înțelegi de ce problema AL 76 este marcată cu steluță :-))).

Green eyes.