Question

Alexandra are câteva nuci . Ea a constatat că dacă le numără câte trei sau câte cinci îi rămâne câte o nucă iar dacă le numără câte șapte, obține un număr întreg de grupe.
a) Este posibil ca Alexandra să aibă 31 de nuci ? Justifică răspunsul
b) Determinați numărul nucilor Alexandrei știind că acest număr este cel mai mic posibil ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) Este posibil ca Alexandra să aibă 31 de nuci ?

nu pentru ca 31 nu se imparte exact la 7

b)

n = 3C1 + 1

n = 5C2 + 1

n - 1 = 3C1

n - 1 = 5C2

cmmmc (3, 5) = 15

n - 1 = 15

n = 15 + 1 = M15 + 1

15*1 + 1 = 16 nu este multiplu de 7

15*2 + 1 = 31 nu este multiplu de 7

15*3 + 1 = 46 nu este multiplu de 7

15*4 + 1 = 61 nu este multiplu de 7

15*5 + 1 = 76 nu este multiplu de 7

15*6 + 1 = 91 este si multiplu de 7

Answer 2

Presupunem ca Alexandra are $N$ nuci. Atunci, stim ca $N\equiv 1\pmod{3}, \ N\equiv 1\pmod{5}$ si ca $N\equiv 0\pmod{7}.$

a) Nu este posibil ca Alexandra sa aiba 31 de nuci deoarece $31\not\equiv 0\pmod{7}.$

b) Fie $N=15k+1=7t.$ Atunci, $7\mid k+1\implies k\geq 6.$ Prin urmare, $N\geq 15\cdot 6+1=91.$ Se observa ca 91 satisface conditiile date, deci $N=91.$