Question

alfa apartine lui R astfel incat:
lim
n->la infinit (rad din n^2-alfa n totul sub rad - rad de ord. 3 din n^3+alfa n^2)=1

Answer 1

3.

În primul rând simplificăm puțin limita:

$\lim_{n \to \infty} \frac{[x]+[3x]+[5x]+...+[(2n-1)x]}{3n^{2} }= \\= \lim_{n \to \infty} \frac{[x]+3[x]+5[x]+...+(2n-1)[x]}{3n^{2} } =\\= \lim_{n \to \infty} \frac{[x](1+3+5+...+(2n-1))}{3n^{2} }$

Demonstrăm prin inducție matematică următoarea ecuație:

P(n): 1+3+5+...+(2n-1)=n², ∀n∈N*

P(1): 1=1² (Adevărat)

P(n+1): 1+3+5+...+(2n+1)=(n+1)², ∀n∈N*

Folosim P(n) pentru a demonstra P(n+1).

1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n²+2n+1=(n+1)² ⇔

⇔n²+2n+1=(n+1)² (Adevărat)

Atunci, 1+3+5+...+(2n-1)=n²

Revenind la limită, aceasta capătă forma:

$\lim_{n \to \infty} \frac{[x]*n^{2} }{3n^{2} } = \lim_{n \to \infty}\frac{[x]}{3}$

[x] tinde la x, așa că limita este egală cu x/3

4.

Avem șirul:

$(x_{n}) _{n\geq 1}, 1\leq x_{1}\leq 2 \\x_{n+1} = x_{n} ^{2} -2x_{n} +2, n\geq 1$

Vom face o discuție pe intervalul în care se încadrează x₁

Pentru x₁∈[1,2), luăm valori din interval și aflăm termenii următori.

x₁=1 ⇒ x₂=1²-2·1+2=1 ⇒x₃=1²-2·1+2=1 ș.a.m.d. (toți termenii vor fi 1, deci șirul tinde la 1)

x₁=1,5 ⇒ x₂=(1,5)²-2·1,5+2=2,25-3+2=1,15 ⇒x₃= (1,15)²-2·1,15+2=1,3225-2,3+2=1,0225 ș.a.m.d. (toți termenii vor fi în vecinătatea lui 1, deci șirul tinde la 1)

x₁=1,3 ⇒ x₂=(1,3)²-2·1,3+2=1,69-2,6+2=1,09 ⇒ x₃=(1,09)²-2·1,09+2=1,1881-2,18+2=1,0081 ș.a.m.d. (toți termenii vor fi în vecinătatea lui 1, deci șirul tinde la 1)

Astfel, pentru x₁∈[1,2), șirul tinde la 1, deci este convergent.

Pentru x₁=2 ⇒ x₂=2²-2·2+2=2 ⇒ x₃=2²-2·2+2=2 ș.a.m.d. (toți termenii vor fi 2, deci șirul tinde la 2)

Astfel, pentru x₁=2, șirul tinde la 2, deci e convergent.

În final, ambele ramuri ale șirului sunt convergente, deci și șirul este convergent.