Question

AM 205. UPT
In rezolvarea pe care am atasat-o, de ce pe intervalul (pi/2, pi) s-a luat doar functia cos(x)? Nu inteleg

Answer 1

Salut,

$\int_0^{\pi}|f(x)-g(x)|dx=\int_0^{\frac{\pi}4}|f(x)-g(x)|dx+\int_{\frac{\pi}4}^{\pi}|f(x)-g(x)|dx=\\\\=\int_0^{\frac{\pi}4}(cosx-sinx)dx+\int_{\frac{\pi}4}^{\pi}(sinx-cosx)dx=\\\\=sinx\Big{|}_0^{\frac{\pi}4}+cosx\Big{|}_0^{\frac{\pi}4}-cosx\Big{|}_{\frac{\pi}4}^{\pi}-sinx\Big{|}_{\frac{\pi}4}^{\pi}=\\\\=\dfrac{\sqrt2}2-0+\dfrac{\sqrt2}2-1-\left(-1-\dfrac{\sqrt2}2\right)-\left(0-\dfrac{\sqrt2}2\right)=\\\\=\sqrt2-1+1+\dfrac{\sqrt2}2+\dfrac{\sqrt2}2=2\sqrt2.$

În figura de mai jos, graficul de culoare roșie este pentru sinx, iar cel de culoare albastră este pentru cosx. Intersecția celor 2 grafice se face pentru x = π/4, asta se poate afla ușor din rezolvarea ecuației sinx = cosx, pe intervalul din enunț.


Green eyes.