Question

AM 9 Se consideră functia f: R -> R, definită prin f(x) = e^x(sin x - cos x).
Să se studieze existenţa limitei la -
$\infty$
f(x) şi în cazul în care aceasta există să se determine valoarea sa.
a) -oo
b) 0
c) +00
d) - 1
e) 1
f) nu există

^ - la puterea ​

Answer 1

Salut,

Știm că limita produsului de funcții f(x)·g(x) este egală cu 0, dacă limita funcției f(x) este 0 și funcția g(x) este una mărginită. Avem această situație de 2 ori, la acest exercițiu.

Când x tinde la --∞, avem că eˣ tinde la 0.

f(x) = eˣ·sinx -- eˣ·cosx

Pentru f₁(x) = eˣ·sinx, când x → --∞ avem că  eˣ → 0, iar --1 ≤ sinx ≤ +1, deci sinx este o funcție mărginită, deci f₁(x) tinde la 0.

Pentru f₂(x) = eˣ·cosx, când x → --∞ avem că  eˣ → 0, iar --1 ≤ cosx ≤ +1, deci cosx este o funcție mărginită, deci și f₂(x) tinde la 0.

Limita funcției din enunț este 0 -- 0 = 0, deci răspunsul corect este b.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.