Question

Am aflat intre timp ca raspunsul este E. Dar cum se demonstreaza?

Answer 1

Răspuns:

Numai E satisface....

Explicație pas cu pas:

Sper să nu inventez ceva nou în mate.. :)))

$\int\limits^1_0 {e^{-x^{2}} } \,dx =\int\limits^1_0 {(e^{-x^{2}})^{'} } \, dx =\int\limits^1_0 {e^{-x^{2}}*(-x^{2})^{'} } \, dx =\int\limits^0_{-1} {e^{-x^{2}} } \, d(-x^{2}) =e^{-x^{2} }|_{-1}^{0}= 1-e^{-1}=\frac{e-1}{e} =0,6 aproximativ.\\\pi/4=0,78 aproximativ\\Deci I<\frac{\pi}{4}$

Answer 2

Trebuie demonstrat că:

$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx<\dfrac{\pi}{4}$

Voi folosi expansiunea Taylor:

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+...$

Substituim x cu x²:

$e^{x^2}=1+x^2+\dfrac{x^4}{2!}+\dfrac{x^6}{3!}+...$

Se observă clar că:

$e^{x^2}>1+x^2 \\ \\\Rightarrow \dfrac{1}{e^{x^2}}<\dfrac{1}{1+x^2}\\ \\\Rightarrow e^{-x^2}<\dfrac{1}{1+x^2}\\ \\\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx<\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^2}\,dx\\\\ \Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx<\arctan(x)\bigg|_{0}^{1}\\ \\\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx<\dfrac{\pi}{4}-0 \\ \\\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx<\dfrac{\pi}{4}$