Question

Am cateva integrale nedefinite care-mi dau batai de cap.

$\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{2x^2-18} } } \, dx$
$\int\limits {(2^x ln \sqrt[3]{4}-ln3 * 9^x )} \, dx$
$\int\limits {(sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2} )^2} \, dx$
$\int\limits {(1+tg^2x)} \, dx$

Answer 1

1. = 1 /√2 ∫  1 / √x²-9  dx = √2 /2 ·ln| x + √x² -9 | + C 
2. =  2^x ··ln∛4  / ln2  - 9^x ·ln9/ ln9   =  2^x · 2 /3   - 2 ·9^x + C
  ln∛4 / ln2  = ln2²/³  / ln2  = 2 /3 · ln2 / ln2 = 2 /3 
  ln9 / ln3 = ln3² /ln3 = 2·ln3 / ln3 = 2  
3. ∫ ( sin²x/ 2 - 2sinx/2·cosx/2  + cos²x/2 ) dx = ∫ ( 1 + sinx ) dx
       sin²x /2 + cos²x/ 2 = 1 
      2sinx /2·cosx/2 = sin(2·x/2)  = sinx
   = x  - cosx + C 
4.        1 + tg²x = 1 + sin²x / cos²x = (  cos²x + sin²x) / cos²x = 1 /cos²x 
        ∫ ( 1 + tg²x) dx = ∫ 1 /cos²x  dx = tgx + C