Question

Am făcut desenul, dar nu stiu cum sa reprezint.​

Answer 1

In triunghiul ABD segmentul BM este mediana.

Daca notam cu O mijlocul diagonalei BD, avem AO mediana.

Cum medianele intr-un triunghi se intilnesc la o treime de baza, inseamna ca AO trece prin punctul P. Deci punctele A, P, O sint coliniare.

Dar intr-un paralelogram stim ca diagonalele se impart in parti egale. Deci O este si punctul de intersectie al diagonalelor AC si BD. Deci punctele A, O, C sint coliniare.

In final, deoarece A, P, O sint coliniare si A, O, C coliniare, rezulta A, P, C coliniare.

Answer 2

$\it M\ -\ mijlocul\ lui\ AD\ \Rightarrow\ AM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2} \Rightarrow \dfrac{BC}{AM}=2\ \ \ \ \ \ (1)\\ \\ Fie\ AC\cap BM=\{F\}\\ \\ BC||AD \Rightarrow BC||AM\ \stackrel{T.f.a.}{\Longrightarrow}\ \ \Delta BFC\sim \Delta MFA \Rightarrow \dfrac{BF}{FM}=\dfrac{BC}{AM}\ \stackrel{(1)}{=}\ 2\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow BF=2FM\ \ \ \ \ (2)$

$\it Dar,\ din\ enun\c{\it t}\ avem\ c\breve a\ BP=2PM\ \ \ \ \ \ (3)\\ \\ (2),\ (3) \Rightarrow F\ \c{s}i\ P\ coincid \Rightarrow A,\ P,\ C\ sunt\ coliniare.$