Question

Am funcția f:(0,+∞)→R, f (x)=x²+√x. Cum arăt ca suprafata delimitată de graficul functiei g:(0, +∞)→R, g (x)=(f (x)-√x)e^x , axa Ox si dreptele de ecuatie x=1 si x=2, are aria egală cu e (2e-1)?

Answer 1

Salut,

Uite soluţia completă:

$I= \int\limits^2_1 {|g(x)|}\;dx=\int\limits^2_1 |({f(x)-\sqrt x})e^x|\;dx= \int\limits^2_1 |({x^2+\sqrt x-\sqrt x})e^x|\;dx=\\=\int\limits^2_1 |(x^2\cdot e^x)|\;dx=\int\limits^2_1 (x^2\cdot e^x)\;dx=\int\limits^2_1 \left[x^2\cdot (e^x)^{'}\right]\;dx=\\=x^2\cdot e^x\bigg|_1^2-\int\limits^2_1 \left[(x^2)^{'}\cdot e^x\right]\;dx=2^2\cdot e^2-1^2\cdot e^1-\int\limits^2_1 (2x\cdot e^x)\;dx=\\\\=4\cdot e^2-e-2\cdot\int\limits^2_1 (x\cdot e^x)\;dx=4\cdot e^2-e-2\cdot\left[\int\limits^2_1 \left[x\cdot (e^x)^{'}\right]dx.$

Apoi:

$I=4\cdot e^2-e-2\cdot\left[ x\cdot e^x\bigg|_1^2-\int\limits^2_1 \left[(x)^{'}\cdot e^x\right]\;dx\right]=4\cdot e^2-e-\\-2\cdot\left(2\cdot e^2-1\cdot e^1-\int\limits^2_1e^x\;dx\right)=4\cdot e^2-e-4\cdot e^2+2\cdot e+2\cdot e^x\bigg|_1^2=\\=e+2\cdot(e^2-e)=e\cdot(2\cdot e-1).$

Green eyes.