Question

am nevoie de ajutor: Demonstrati prin inductie ca 1/2*3/4*5/6*...*1/√2n+1 oricare ar fi n≥1, aceasta problema este 20 supuncul b) dar am nevoie de ajutor și la supuncul a) vă rog!!!​

Answer 1

a) $2^n > 2n + 1 \text{ } \forall n \geq 3$

$n = 3: \text{ } 2^{3} > 2 \cdot 3 + 1 < = > 8 > 7 (\text{Adevarat})$

Presupunem ca inegalitatea are loc pentru un oarecare k - natural mai mare sau egal cu 3. $2^{k} > 2k + 1$

Inmultind ambele parti ale inegalitatii cu 2 obtinem:

$2 \cdot 2^{k} > 2 \cdot (2k + 1)\\2^{k+1} > 4k + 2$

$4k + 2 = 2(2k) + 2 > 2(k+1) + 1$

$2^{k+1} > 4k + 2 > 2(k+1) + 1\\2^{k+1} > 2(k+1) + 1$

Deci k+1 satisface inegalitatea si conform principiului inductiei matematice inegalitatea este satisfacuta pentru oricare numar natural n >= 3.