Question

Am nevoie de ajutor!
In figura alăturată ABCD este pătrat, iar ACE este triunghi
echilateral. Fie O centrul pătratului și {} = ∩ .
a) Demonstrați că punctele O, B, E sunt coliniare.
b) Demonstrați că are loc relația (2 + √3) = .

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

ABCD este pătrat => AO ≡ OC

AB ≡ BC => ΔABC este isoscel

BO este mediană => BO este înălțime => BO⊥AC

ΔACE este echilateral

EO este mediană => EO este înălțime => EO⊥AC

BO⊥AC și EO⊥AC => B ∈ EO

=> O, B și E sunt coliniare

(unicitatea perpendicularei într-un punct)

b)

AB || BC <=> AB || BT => ΔDEA~ΔBET

$\dfrac{AD}{BT} = \dfrac{DE}{BE}$

notez AB = x

$BD = AC = x \sqrt{2} \\ DO = BO = \dfrac{x \sqrt{2}}{2}$

$EO = \dfrac{AC \sqrt{3}}{2} = \dfrac{x \sqrt{2} \sqrt{3}}{2} = \dfrac{x \sqrt{6}}{2}$

$BE = EO - BO = \dfrac{x \sqrt{6}}{2} - \dfrac{x \sqrt{2}}{2} = \dfrac{x \sqrt{2}( \sqrt{3} - 1)}{2}$

$DE = AC + BE = x \sqrt{2} + \dfrac{x \sqrt{2}( \sqrt{3} - 1)}{2} = \dfrac{x \sqrt{2}( \sqrt{3} + 1)}{2}$

$\dfrac{DE}{BE} = \dfrac{\dfrac{x \sqrt{2}( \sqrt{3} + 1)}{2}}{\dfrac{x \sqrt{2}( \sqrt{3} - 1)}{2}} = \dfrac{ \sqrt{3} + 1}{ \sqrt{3} - 1}$

$\dfrac{AD}{BT} = \dfrac{ \sqrt{3} + 1}{ \sqrt{3} - 1} = \dfrac{2(2 + \sqrt{3})}{2} = 2 + \sqrt{3}$

$\implies AD = (2 + \sqrt{3})BT$

q.e.d.