Question

Am nevoie de ajutor la c.
Dau coroanaa

Answer 1

Aceasta e rezolvarea.

Answer 2

Ne folosim de relatia de la punctul b)Dam factor comun si avem$A^{3}+A^{2}=A^{2}(A+I_{2})=O_{2}$ Observam ca relatia este adevarata pentru orice exponent n>=2$A^{n}(A+I_{2})=A^{n-2}A^{2}(A+I_{2})=A^{n-2}O_{2}=O_{2}$
Atunci observam urmatoarele relatii din suma de la punctul c)$9A^{9}+10A^{10}=10A^{9}+10A^{10}-A^{9}=10A^{9}(A+I_{2})-A^{9}=-A^{9}$
In mod analog$7A^{7}+8A^{8}=-A^{7}$$5A^{5}+6A^{6}=-A^{5}$$3A^{3}+4A^{4}=-A^{3}$Atunci relatia de la punctul c) devine$A+2A^{2}-A^{3}-A^{5}-A^{7}-A^{9}$(1)

mai putem sa demonstram faptul ca A la putere impara este egal tot cu A$A^{2n+1}=A$ pentru orice n>=1 prin inductie matematicaDin calcul direct, poti sa arati ca$A^{2}=-A$ Folosind aceasta relatie
Pentru n=1 avem$A^{2+1}=A^{3}=A^{2}*A=-A*A=-(A^{2})=-(-A)=A$
Acum sa presupunem ca exista (k-1)<n pentru care e adevarata relatia$A^{2(k-1)+1}=A^{2k-1}=A$ este adevarata, atunci vrem sa demonstram si pentru k este adevarata$A^{2k+1}=A^{(2k-1)+2}=A^{2k-1}*A^{2}=A*A^{2}=A^{3}=A$Deci relatia este adevarata si pentru k, atunci prin inductie matematica relatia este demonstrata: A la putere impara este egal cu A
Atunci relatia de calcul (1) devine$A+2A^{2}-A^{3}-A^{5}-A^{7}-A^{9}=A+2A^{2}-A^{3}-A^{5}-A^{7}-A^{9}=A+2A^{2}-A-A-A-A=2A^{2}-3A=2*(-A)-3A=-5A$