Question

am nevoie de ajutor la ex: 25​

Answer 1

Răspuns:

a) Relația de recurență se mai scrie

$x_n=\displaystyle\frac{1}{2}x_{n-1}+1$

Atunci

$b_n=x_n-x_{n-1}=\frac{1}{2}x_{n-1}+1-x_{n-1}=1-\frac{1}{2}x_{n-1}$

$\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1-\frac{1}{2}x_n}{1-\frac{1}{2}x_{n-1}}=\frac{1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x_{n-1}+1\right)}{1-\frac{1}{2}x_{n-1}}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}x_{n-1}\right)}{1-\frac{1}{2}x_{n-1}}=\frac{1}{2}$

Deci

$b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n, \ \forall n\in\mathbb{N^*}$

adică $b_n$ este progresie geometrică cu rația $\frac{1}{2}$.

b) Avem $b_1=x_1-x_0=\frac{1}{2}$

$b_1+b_2+\ldots+b_n=x_1-x_0+x_2-x_1+\ldots+x_n-x_{n-1}=x_n-x_0=x_n-1$

Dar

$b_1+b_2+\ldots+b_n=b_1\cdot\displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$

Rezultă

$x_n=2-\displaystyle\frac{1}{2^n}=\frac{2^{n+1}-1}{2^n}$

Explicație pas cu pas: