Question

Am nevoie de ajutor la problema 23.

Answer 1

Folosim Binomul lui Newton:

$(A+I)^n=C_n^0A^nI^0+C_n^1A^{n-1}I^1+...+C_n^nA^0I^n$.

$A^0=I\\A^2=A\\A^3=A^2\cdot A=A\cdot A=A^2=A$.

Deci $A^n=A,\forall n\in\mathbb{N}^*$.

Stim ca $I^n=I,\forall n\in\mathbb{N}$.

$(A+I)^n=C_n^0A+C_n^1A+...+C_n^nI^n=(C_n^0+C_n^{1}+..+C_n^{n-1}) A+I=(C_n^0+C_n^{1}+..+C_n^{n-1})A+I$

Cum $C_n^0+C_n^{1}+..+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n\rightarrow C_n^0+C_n^{1}+..+C_n^{n-1}=2^n-C_n^n=2^n-1$

Deci $(A+I)^n=(2^n-1)A+I,n\in\mathbb{N}^*$