Question

Am nevoie de ajutor la punctul a.
Multumesc!

Answer 1

Salut,

Funcția din enunț este rezultatul compunerii unor funcții elementare (funcția radical și funcția de gradul al doilea), deci este continuă pe R.

Dacă este continuă pe R, atunci este și derivabilă pe R, excepție face când numitorul derivatei ia valoarea zero.

$f(x)^{'}=(\sqrt[3]{x^2+(m-2)x+2-m})^{'}=\left[(x^2+(m-2)x+2-m)^{\frac{1}3}\right]^{'}=\\\\=\dfrac{1}3\cdot(x^2+(m-2)x+2-m)^{\frac{1}3-1}\cdot(x^2+(m-2)x+2-m)^{'}=\\\\=\dfrac{1}3\dfrac{2x+m-2}{\sqrt[3]{(x^2+(m-2)x+2-m)^{2}}}.$

Numitorul derivatei este x² + (m -- 2)x + 2 -- m ≠ 0.

O funcție de gradul al doilea NU ia valori nule, dacă Δ < 0, sau b² -- 4ac < 0, adică (m -- 2)² --  4·1·(2 -- m) < 0, sau m² -- 4m + 4 -- 8 + 4m < 0.

De aici: m² -- 4 < 0.

Rădăcinile ecuației m² -- 4 = 0 sunt m₁ = --2 și m₂ = +2.

Funcția f(m) ia semn contrar semnului coeficientului lui m² (adică semn negativ), între rădăcini, deci m ∈ (--2, 2).

Te las pe tine să rezolvi punctul b, ai mai sus derivata, trebuie doar să înlocuiești pe m = 0 și pe x = --1.

Trebuie apoi să calculezi derivata a doua, nu e chiar așa de greu, și să consideri și pe x = 0.

Green eyes.