Question

Am nevoie de ajutor la urmatoarea problema din culegerea de matematica: Aratati ca urmatoarea functie e inversabila si determinati inversa ei: f:(1; oo) -> (2; oo) f(x) = x + 1/x.

Answer 1

Răspuns:

Injectivitate: Fie $x_1,x_2\in (1,\infty)$ astfel incat $f(x_1)=f(x_2)$. Rezulta $x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}$ <=> $x_1-x_2=\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}$ <=> $(x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1x_2})=0$. Dar $x_1>1,x_2>1$ deci $x_1x_2>1$ deci $1-\frac{1}{x_1x_2}>0$.

Prim urmare, din  $(x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1x_2})=0$ rezulta $x_1=x_2$.

Surjectivitate: Fie $y\in (2,\infty)$. Cautam $x\in (1,\infty)$ cu f(x)=y. Adica $x+\frac{1}{x}=y$ <=> $x^2-yx+1=0$. Avem $\Delta=y^2-4>0$. Ecuatia are doua solutii $x_{1.2}=\frac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2}$. Dar $x_1=\frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2}<1$ si $x_2=\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}>1$. Cum $f(x_2)=y$, rezulta ca f e surjectiva.

$f^{-1}(y) = x_2=\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}$

Explicație pas cu pas: