Am nevoie de ajutor la următorul exercițiu
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ABCD tetraedru regulat, ⇒toate muchiile egale si fetele triunghiuri regulate congruente. AB=6√2cm. AE=DE, mediane a triunghiurilor regulate congruente, ⇒ΔAED isoscel cu baza AD, atunci EF mediana si inaltime pe baza. Aflam AE² din ΔABE, AE²=AB²-BE²=(6√2)²-(3√2)²=36·2-9·2=72-18=54=9·6. Atinci, din ΔAEF, T.P. ⇒EF²=AE²-AF²=9·6-(3√2)²=9·6-9·2=9·(6-2)=9·4=36, deci EF=√36=6cm.
b) m(∡(AB,EF))=m(∡(FN,EF))=m(∡EFN), deoarece FN║AB, N∈BD. Deoarece F e mijlocul muchiei AD, atunci si N este mijlocul muchiei BD, conform T.Thales. ⇒FN linie mijlocie in ΔABD, deci FN=(1/2)·AB=3√2cm.
Atunci EN e la fel linie mijlocie in ΔBCD, deci EN=(1/2)·CD=3√2cm.
In ΔEFN, FN²+NE²=(3√2)²+(3√2)²=9·2+9·2=36=EF², deci ΔEFN este dreptunghic isoscel cu EF ipotenuza. Atunci m(∡EFN)=45°=m(∡(AB,EF)).
c) d(A,(BCD))=???
BC⊥AE si BC⊥DE, deci BC⊥(AED). ⇒d(A,(BCD))=AK, unde K∈DE.
Fie O este centrul ΔABC, atunci DO⊥(ABC) si OE=(1/3)·AE. AE²=9·6, deci AE=DE=3√6. Atunci OE=(1/3)·AE=(1/3)·3√6=√6cm.
DE=AE, ∠AEK≡∠DEO⇒ΔDOE≡ΔAKE, ⇒AK=DO.
Din ΔDOE, DO²=DE²-OE²=9·6-(√6)²=9·6-6=6·(9-1)=6·8=48=16·3, deci DO=√(16·3)=4√3cm=AK= d(A,(BCD)).
