Question

am o intrebare, am inceput sa imi fac tema pe vacanta iar nu imi aduc aminte cum ar trebui sa rezolv,am cautatin caiet, dar.. este cam incomplet. Problema zice cam asa... Determinati cardinalul multimii A={x∈Z/ \frac{x+2}{x-3} ∈Z} .

Answer 1

   
[tex]\displaystyle \\ A=\Big\{x\in Z~ \Big|~\frac{x+2}{x-3}\in Z\Big\}\\\\ \frac{x+2}{x-3} = \frac{x-3+3+2}{x-3}=\frac{x-3+5}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{5}{x-3}=\boxed{1+\frac{5}{x-3}}\\\\ 1\in Z ~~\text{ iar pentru }\frac{5}{x-3}~~\text{va trebui sa gasim valorile lui }x \text{ asfel incat} \\ \\ \text{fractia: } ~\frac{5}{x-3} ~~\text{sa fie numar intreg.} \\ \\ \Longrightarrow ~~ (x-3) ~~\text{este un divizor al lui 5.}[/tex]


[tex]\displaystyle \\ \text{Divizorii intregi ai lui 5 sunt:} \\ D_5 = \{-5;~-1;~1;~5\} \\ \\ x-3= -5 ~~\Longrightarrow~~ x_1 = -5 + 3 = \boxed{-2} \\ x-3= -1 ~~\Longrightarrow~~ x_2 = -1 + 3 = \boxed{2} \\ x-3= 1 ~~\Longrightarrow~~ x_3 = 1 + 3 = \boxed{4} \\ x-3= 5 ~~\Longrightarrow~~ x_4 = 5 + 3 = \boxed{8} \\ \\ \Longrightarrow~~ \boxed{A = \{-2;~2;~4;~8 \} } \\ \text{Cardinalul unei multimi = numarul de elemente ale multimii. } \\ \Longrightarrow~~\boxed{card(A) = 4}[/tex]