Question

am postat mai devreme intrrebarea:
$2^{1} +2^{2} +2^{3} +....2^{n}\ \textless \ 1000$
Mi s- araspuns ca e o banalitate si a fost stearsa.
Va rog sa mi se spuna ce e o banalitate?
De asemenea as dori demonstratie. E de nivel clasa a VI-a si trebuie demonstrata.
Nu ca observam ca pt n>=10 nu mai este valabila.
Va multumesc,

Answer 1

S = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ

2S = 2² + 2³ + .... + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹

(Scad pe verticală de jos în sus.)

2S - S = 2ⁿ⁺¹ + (2² + 2³ + .... + 2ⁿ) - (2² + 2³ + .... + 2ⁿ) - 2¹

S = 2ⁿ⁺¹ + 0 - 2

S = 2ⁿ⁺¹ - 2

⇒ 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 2

2ⁿ⁺¹ - 2 < 1000

2ⁿ⁺¹ < 1002

(512 = 2⁹) < (1024 = 2¹⁰)

⇒ n+1 ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

⇒ n ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8}