Question

Am rezolvat problema ,dar nu înțeleg de ce nu e și x=3 soluție fiindcă din domeniul de definintie am x≥-1/8 +infinit?Știu că nu verifică da ,sunt curios ce am greșit la domeniul de definintie
$\sqrt{8x + 1} - \sqrt{x + 1 = 7}$
​

Answer 1

Conditii de existenta

Atunci cand efectuam operatii cu radicali de forma $\sqrt{a} = b$ avem doua tipuri de conditii :

Conditii de existenta

Expresia de sub radical trebuie sa dea un numar natural. (a>0)

In cazul nostru :

8x+1 >=0, deci x>=-1/8

x+1>=0 , deci x>=-1

Astfel x apartine [-1/8,infinit)

Conditii de compatibilitate

Termenul din cealalta parte a ecuatiei trebuie sa fie numar natural (b>0)

In cazul nostru trebuie ca

$7-\sqrt{8x+1} >= 0$

$7-\sqrt{x+1} >=0$

Acestea sunt doar conditiile initiale ! Pe parcursul rezolvarii exercitiului s-ar putea sa dam de alte conditii.

Rezolvarea ecuatiei :

Ridicam la patrat :

8x+1-x-1 -2$\sqrt{(8x+1)(x+1)}$ = 49

7x - 2$\sqrt{8x^{2} +9x+1}$ = 49

$-2\sqrt{8x^{2} +9x+1} = 49-7x$

$\sqrt{8x^{2} +9x+1} = \frac{7x-49}{2}$

Acum avem iar conditii de existenta :

$8x^{2} +9x+1>=0$

De unde rezulta ca x apartine (-inf,-1] U [-1/8,inf)

Dar si conditii de compatibilitate :

7x-49 >=0

De unde rezulta ca x>=7

Dupa cum vezi x=3 nu respecta aceasta conditie. Aici era problema

Domeniul de definitie final este intersectia tuturor domeniilor impuse de conditii, fie ca acestea reies din prima ecuatie, fie ca reies dintr-o ecuatie intermediara.

In concluzie, atunci cand efectuam operatii cu radicali :

• E necesar sa evaluam in mod corect toate conditiile necesare
• E necesar sa verificam solutia la final pentru a ne asigura ca toate valorile gasite sunt corecte.