Question

Am și eu nevoie de ajutor, vă rog, la demonstrarea inegalității din poză. Mulțumesc anticipat!
Dau coroană :))
​

Answer 1

Conditia este adevarata mereu NUMAI daca a si b au acelasi semn, adica amindoua pozitive sau amindoua negative...

conditii de existenta:

a, b diferite de 0

a+b diferit de 0

Aducem la acelasi numitor in stinga:

(a³+b³)/a²b² >= 4/(a+b)

produsele in diagonala:

(a³+b³)(a+b) >= 4a²b²

a⁴+ab³+a³b+b⁴ >= 4a²b²

Ducem 2a²b² din dreapta in stinga si a³b+a³b din stinga in dreapta:

a⁴-2a²b²+b⁴ >= 2a²b²-ab³-a³b

a⁴-2a²b²+b⁴ >= -ab(a²-2ab+b²)

(a²-b²)² >= -ab(a-b)²

[(a-b)(a+b)]² >= -ab(a-b)²

(a-b)²(a+b)² >= -ab(a-b)²

deci:

(a+b)² >= -ab

Daca a si b au amindoua acelasi semn, atunci conditia este mereu adevarata. Deoarece -ab este mereu negativ, iar in stinga mereu pozitiv.

Daca a si b au semne opuse, atunci nu este adevarat mereu. Ex: a=-1, b=2....