Question

AM80. Vă rog frumos! ​

Answer 1

f(x) = x+lnx e strict crescătoare pe (0,+ထ), iar limita cand x tinde la 0 este -ထ și limita când x tinde la +ထ este +ထ, deci Imf = ℝ. Deci este bijectivă.

Funcția e clar că e inversabilă deoarece este bijectivă pe ℝ.

$f(x) = x+\ln x\\\\ L = \lim\limits_{y\to -\infty}e^{-y}f^{-1}(y) \\ \\ y=x+\ln x \\ y \to -\infty \Rightarrow x \searrow 0 \\ \\ L =\lim\limits_{x\searrow 0} e^{-(x+\ln x)}f^{-1}(x+\ln x) \\ \\ L =\lim\limits_{x\searrow 0} e^{-(x+\ln x)}\cdot x \\ \\ L =\lim\limits_{x\searrow 0} \dfrac{x}{e^{x+\ln x}} \\ \\ L =\lim\limits_{x\searrow 0} \dfrac{x}{e^{x}\cdot e^{\ln x}} \\ \\ L = \lim\limits_{x\searrow 0} \dfrac{x}{e^x\cdot x} \\ \\ L=\lim\limits_{x\searrow 0} \dfrac{1}{e^x}\\ \\ L = \dfrac{1}{e^0}$

$\Rightarrow \boxed{L = 1}$

⇒ c) corect