Question

ambele exercitii daca se poate !

Answer 1

15)   
[tex] \displaystyle \\ \frac{1007}{2013},~ \frac{1008}{2012},~ \frac{1009}{2011},~\hdots~,~ \frac{2012}{2008},~ \frac{1013}{1007} \\ \\ \text{Calculam numarul de fractii: } \\ \\ n = 2013 - 1007 +1 = 1006+1 = 1007 ~fractii \\ \\ \text{Tinand cont ca in fiecare fractie numaratorul si numitorul au aceeasi} \\ \text{paritate si in plus avem un numar impar de fractii, tragem concluzia} \\ \text{ca exista o fractie in care numaratorul este egal cu numitorul,} \\ \text{adica fractie echiunitara.} [/tex]


[tex]\displaystyle \\ \text{Calculam fractia echiunitara, folosindu-ne de faptul ca la toate} \\ \text{suma dintre numarator si numitor este constanta: } \\ \\ 1007 + 2013 = 3020 \\ 1008 + 2012 = 3020 \\ etc. \\ \Longrightarrow ~~\text{numaratorul si numitorul fractiei echiunitare sunt} \\ 3020 : 2 = 1510 \\ \\ \Longrightarrow ~~\text{Fractia echiunitara este: } ~ \boxed{\frac{1510}{1510} } \\ \\ \text{Rescriem fractiile:} [/tex]


[tex]\displaystyle\\ \underbrace{\frac{1007}{2013},~\frac{1008}{2012},~\frac{1009}{2011},... \frac{1509}{1511}}_{\text{fractii subunitare}},~\underbrace{\frac{1510}{1510}}_{fr. echi},~\underbrace{\frac{1511}{1509},...\frac{2011}{2009},~\frac{2012}{2008},~\frac{2013}{1007}}_{\text{fractii supra unitare}} \\\\\\ 1509 - 1007 + 1 = 502+1 = \boxed{503 ~\text{fractii subunitare} } \\ 1510-1510+1 = \boxed{1 ~\text{fractie echiunitara} } \\ 2013 - 1511 + 1 = 502+1 = \boxed{503 ~\text{fractii supraunitare}}[/tex]


16)

[tex]\displaystyle \\ \frac{3^1 \cdot 3^2 \cdot ... \cdot 3^{2013}}{\Big(27^{1007}\Big)^{671}} = \\ \\ \\ =\frac{3^{1+2+...+2013}}{\Big((3^3)^{1007}\Big)^{671}} =\\ \\ \\ =\frac{3^\frac{2013 \times 2014}{2} }{3^{3\times 1007 \times 671}} = \frac{3^{2013 \times 1007} }{3^{3\times 671 \times 1007 }}= \boxed{\frac{3^{2013 \times 1007} }{3^{2013 \times 1007 }}= 1}[/tex]