Question

Andrei merge într-o tabără de alpinism. El escaladează o stâncă care are forma unei piramide patrulatere regulate VMNPQ cu vârful V, având toate muchiile de lungime 12 m. Ştiind că pleacă din punctul M și ajunge in punctul R, mijlocul muchiei VP, deplasându-se în linie dreaptă pe fetele (VMN), (VNP) și că a parcurs drumul de lungime minimă între cele două puncte, arătaţi că drumul parcurs de Andrei este mai mare de 15 m. (Vezi Figura 31.) DAU COROANA ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

▪︎ VMNPQ este piramidă patrulateră regulată cu toate muchiile de lungime 12 m => ΔVMN, ΔVNP și ΔVQM sunt triunghiuri echilaterale

▪︎ considerăm desfășurarea în plan a piramidei => distanța minimă dintre punctele M și R este segmentul MR

▪︎ ducem înălțimea MT ⊥ VQ, T ∈ VQ => MT este mediană => VT = ½×VQ => VT = 6 cm

și MT = ½×12√3 => MT = 6√3cm

▪︎ R este mijlocul muchiei VP => VR = ½×VP

=> VR = 6 cm

▪︎ punctele Q, V, P sunt coliniare (∢QVP = 180°)

=> TR = VT + VR => TR = 12 cm

T.P. în ΔMTR dreptunghic:

MR² = MT²+TR² = 108+144 = 252

=> MR = √252 => MR = 6√7 cm

√252 > √225 = 15 => MR > 15 cm

q.e.d.