Question

€ - APARTINE     // - PARALEL
1.Consideram triungiul ABC si punctul M € (AB). Construim ME//AC, E € (BC) si MF//BC, F € (AC). Daca $\frac{BM}{MA} = \frac{3}{4}$ , BC=21cm si AC=14 cm, aflati perimetrul paralelogramului MECF.
2. In triunghiul ABC, consideram punctele D € BC, E € AC, astfel incat DE//AB.
a) Calculati AC, daca D € (BC), AE+AC=28cm, BC=12 cm si DB=9 cm.
b) Calculati AE, daca B € (CD), $\frac{CB}{CD} = \frac{5}{8}$ si EC=16 cm.

Answer 1

1.   BM/MA=3/4      (BM+MA)/MA=(3+4)/4      AB/MA=7/4      MA/AB=4/7
MF//BC  deci pot aplica Thales:    MA/AB=FA/AC inlocuind:    4/7=FA/14      FA=8cm
         atunci, FC=AC-FA=14-8=6cm

BM/MA=3/4      BM/(BM+MA)=3/(3+4)      BM/AB=3/7
ME//AC      conform Thales:  BM/AB=BE/BC    deci    3/7=BE/21            BE=9cm
               si    EC=BC-BE=21-9=12 cm

MECF=paralelogram    P=2*(FC+EC)=2*(6+12)=36 cm

2. a)  DE//AB   din Thales:    CD/BC=CE/AC
CD=BC-DB=12-9=3 cm  si CE=AC-AE    deci    3/12=(AC-AE)/AC        AC=4*(AC-AE) 
4*AE=3*AC
dar, AE+AC=28    rezolvand se obtine  AE=12 cm   si AC=16 cm

b) in triunghiul DCE avem AB//DE  conform Thales: CB/CD=AC/EC
           inlocuind  5/8=AC/16   AC=10cm    AE=EC-AC=16-10=6cm